Dato un polinomio P(x), ed un binomio (x-a), con a un numero reale
qualsiasi, dalla relazione fondamentale della divisione possiamo dedurre :
dove Q(x) rappresenta il quoziente ed R il resto, che dovendo essere di
grado minore del divisore (x-a) sarà di grado 0, cioè non conterrà la variabile x.
Poiché la relazione vale per ogni valore di x sostituendo la x con a si ottiene :
Cioè la tesi.
Teorema di Ruffini
Il teorema del resto ci permette di stabilire un importante criterio di divisibilità
tra polinomi che è di verifica immediata :
Condizione necessaria e sufficiente affinché
un polinomio P(x) sia divisibile per un binomio (x-a) è che P(a)=0.
a viene anche detto
zero
del polinomio. |
Criterio di Ruffini
Sia il polinomio P(x)
a coefficienti interi; allora se esiste un valore razionale p/q che sostituito ad x annulla il polinomio sarà :
 | p divisore del termine noto
|
| q divisore del coefficiente del termine di grado massimo
|
In particolare se il termine di grado massimo ha coefficiente
unitario il valore che annulla il polinomio sarà un numero intero divisore del termine
noto. |
