Regola di Ruffini

Regola di Ruffini per la divisione:

Il quoziente tra un polinomio P(x) di grado n ed il binomio x-a è un polinomio di grado n-1. I suoi coefficienti si trovano mediante la regola illustrata nel seguente esempio:

Innanzitutto si ordina il polinomio dividendo secondo le potenze decrescenti della lettera che vi figura.

Fatto uno schema come quello a fianco, si scrivono i coefficienti del polinomio dividendo, con l'avvertenza di scrivere eventuali 0 in corrispondenza ai termini mancanti.
Ricordarsi che ordinare il polinomio e aggiungere i termini con coefficiente zero è una operazione essenziale per la correttezza della divisione. All'esterno, in basso a sinistra, si mette il termine noto del divisore con il segno cambiato che chiameremo operatore.

La riga più bassa è quella riservata ai coefficienti del polinomio quoziente.
Si inizia abbassando in questa riga il primo coefficiente del polinomio dividendo (in questo caso il 2 che sarà anche il coefficiente del primo termine del polinomio quoziente)

Poi si moltiplica questo numero per l'operatore (3).
Osserva la figura a lato. Il prodotto tra i due numeri va scritto incolonnato con il secondo coefficiente del quoziente.

Si sommano algebricamente i due numeri in colonna ottenendo il secondo coefficiente del polinomio quoziente (nel nostro caso -4)

Si ripete il passo 2 moltiplicando questo coefficiente ancora per l'operatore 3 incolonnando ancora il prodotto con il successivo coefficiente del dividendo.

Si ripete l'operazione vista al passo 3 sommando algebricamente.

Si ottiene il successivo coefficiente del quoziente.

si ripete l'operazione della moltiplicazione

si ripete l'operazione di somma algebrica

I numeri scritti nell'ultima riga orizzontale nella parte interna dello schema (2, -4, -2, -3) sono i coefficienti del polinomio quoziente:
Tale quoziente ha le seguenti caratteristiche:

	deve essere di terzo grado uno in meno del dividendo (abbiamo diviso per un binomio di primo grado quindi per proprietà potenze...)
	è nella stessa variabile x del dividendo
	è ancora ordinato seconde le potenze decrescenti della variabile.

allora: è il quoziente cercato

Il resto della divisione è dato dal numero in basso a destra, cioè -12, che può essere interpretato come polinomio di grado 0.

Si può verificare che