Scomposizione con Teorema di Ruffini

Scomposizione con Teorema di Ruffini

Sia dato un polinomio P(x), ed un binomio divisore della forma (x-a), con a un numero reale qualsiasi. Sia Q(x) il quoziente. Dalla relazione fondamentale della divisione possiamo dedurre :

scompo08.gif (1974 byte)

Quando R=0 si dice che il polinomio P(x) è divisibile per x-a e la relazione precedente ci fornisce una sua scomposizione in fattori.
Il problema diventa allora quello di trovare i binomi del tipo x-a.
In questo ci aiutano il teorema di Ruffini ed il criterio di divisibilità già visti a suo tempo.

Si può procede nel seguente modo

Si determinano i divisori del termine noto p_i

Si determinano i divisori del coefficiente del termine di grado massimo q_i

Si trovano tutte le possibili frazioni p_i /q_i.Tra questi valori ci sono gli a cercati

Si applica il teorema del resto verificando per quali binomi del tipo x-a è divisibile P(x)

Dopo aver trovato un divisore si esegue la divisione utilizzando la regola di Ruffini

Se necessario si ripetono le operazioni fatte eliminando però i fattori x-a che non hanno dato esito positivo al primo tentativo

Esempio

Si vuole fattorizzare il polinomio

Seguiamo lo schema

i divisori del termine noto 6 sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 6,

i divisori del coefficiente del termine di grado massimo 2 sono ± 1, ± 2,

le possibili frazioni sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 1/2, ± 3/2, di conseguenza i possibili divisori sono

Applichiamo il teorema del resto

e allora x-1 non è divisore

e allora x-1 è divisore
allora il polinomio P(x) è divisibile per x+1

Eseguiamo la divisione utilizzando la Regola di Ruffini.

Ottenendo la scomposizione

Per procedere nella scomposizione in fattori , occorre ora operare sul trinomio .

Poiché nessuno dei procedimenti usuali per i trinomi è applicabile, si ripete su di esso il procedimento di Ruffini a partire dal punto 1.

I possibili divisori sono gli stessi del passaggio precedente, con esclusione di x-1 che aveva già dato esito negativo

Applichiamo il teorema del resto.

.........................................................................
Trovato un divisore ripetiamo allora la divisione ottenendo

quindi complessivamente

Da notare che prova Q(-1) poteva anche essere evitata perché assegnando alla x un valore negativo tutti i termini del polinomio diventano positivi.