|
Equazioni
|
Cos'è un'equazione?
Prendiamo un qualunque insieme A nel quale siano
definite certe
operazioni. Utilizzando dei ben determinati elementi di
A possiamo scrivere delle uguaglianze che potranno assumere i valori di
verità Vero o Falso.
Poniamoci per esempio in N ed analizziamo
le seguenti scritture: 3+5=8
2+3=5
3-2=5.
È immediato stabilire che le prime due
eguaglianze sono certamente vere, mentre l’ultima è falsa.
La situazione non è però così semplice se l’uguaglianza contiene delle
variabili .
Considera ad esempio le seguenti scritture
a+2=5
a2+2=3a
a+2a=3a
In questo caso si tratta di enunciati o
formule aperte per i
quali non è possibile stabilire il valore di verità:
tale valore infatti dipende dal
valore attribuito alla variabile che vi figura e che viene detta
incognita.
Chiamiamo equazione una uguaglianza fra due
espressioni letterali, definite in uno stesso insieme, che è vera solo quando particolari valori dell’insieme dato
vengono sostituiti alle incognite che compaiono in essa.
|
|
Oppure utilizzando una terminologia più
precisa:
|
Una equazione è un enunciato aperto, definito in
un dato insieme, il cui predicato è “essere uguale”.
|
Cosa significa allora risolvere un'equazione?
Risolvere un’equazione significa determinarne l’insieme
di verità: cioè quegli elementi appartenenti all’insieme
di definizione che trasformano l’equazione in una uguaglianza
vera.
Questi valori che verificano l'equazione vengono detti soluzioni
o radici dell'equazione
|
Esempi
L'equazione x+2=3 in N
ha come soluzione x=1, infatti 1+2=3
L'equazione x2=1 in N ha come soluzione
x=1,
La stessa equazione x2=1 in Z ha come
soluzioni x=1 e x=-1. |
Individua per
ciascuna delle seguenti equazioni le sue soluzioni tra quelle a
fianco elencate |
| 3x+2=8 |
x1=1,
x2=2, x3=-1 |
Puoi notare che non tutte le equazione hanno
una soluzione e che questa non è necessariamente unica.
Da sottolineare che nell'ultimo caso le soluzioni non sono un
numero, ma una coppia ordinata di numeri |
| 2x2-3x+1=0 |
x1=1,
x2=1/2, x3=-1 |
| x+2x=3x |
x1=-1,
x2=2, x3=-12 |
|
x=x+1 |
x1=1,
x2=-0.5, x3=-1 |
| 3x+2y=7 |
x1=1,
y1=2; x2=3, y2=-1;
x3=-1, y3=5 |
In particolare:
 |
se l’uguaglianza è vera solo per qualche valore dell’insieme di
definizione l’equazione si dice propria. In questo caso l’insieme
delle soluzioni è un sottoinsieme proprio dell’insieme di definizione.
|
|
se l’uguaglianza è vera per ogni valore dell’insieme si parla più
propriamente di identità. In questo caso l’insieme delle soluzioni
coincide con l’insieme di definizione.
|
|
se l’uguaglianza non è vera per nessun valore dell’insieme l’equazione
è impossibile. In questo caso l’insieme di definizione è l’insieme
vuoto.
|
|
Esempi
L'equazione 2x+3=4 è impossibile in Z.
Infatti non esiste nessun numero intero che sostituito alla x
dia 4.
In Q la stessa equazione è determinata e ha come
soluzione 0.5 infatti 2*(0.5)+3=4.
Precisare l'insieme di definizione è quindi di particolare
importanza in particolare quando si risolvono equazioni legate a
problemi.
L'equazione x=x+2 è impossibile in qualunque insieme
numerico.
L'equazione 2x=x+x è invece una identità perché
l'uguaglianza è sempre vera.
|
|
|
|
|