Equazioni equivalenti
Due equazioni si dicono equivalenti se sono verificate per gli
stessi valori. Se hanno cioè lo stesso insieme di soluzioni.
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Il concetto di equazioni equivalenti è fondamentale nella risoluzione
delle equazioni perché per risolvere una equazione in genere la
trasformiamo via via in equazioni più semplici ad essa
equivalenti.
Di solito vengono dati due principi di equivalenza che però noi
riassumiamo nel seguente
| Se eseguiamo la
stessa operazione (addizione, sottrazione, moltiplicazione,
divisione) con lo stesso numero sia a sinistra (1° membro) che
a destra (2° membro) dell'uguale, otteniamo una equazione
equivalente alla data. E' da escludere la moltiplicazione ed
ovviamente la divisione per 0 |
Il
principio, peraltro abbastanza intuitivo, si basa sulle leggi di
monotonia dell’uguaglianza.
Conseguenze:
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si
può portare un addendo da un membro all'altro dell'equazione
purché gli si cambi il segno. Equivale infatti a sottrarre da
entrambi i membri quel numero.
In particolare si possono portare tutti i termini con la x primo
membro cambiando loro il segno e quelli senza la x al secondo
membro sempre cambiando il segno. |
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Se
nel primo membro si trovano termini uguali a quelli del secondo si
possono cancellare |
| se
nell'equazione figurano dei denominatori questi si possono eliminare
dopo aver ridotto le frazioni allo stesso denominatore |
| si
possono cambiare i segni ad entrambi i membri dell'equazione
(equivale infatti a moltiplicare entrambi membri per -1) |
Con
opportune cautele che riguardano l'insieme di definizione dell'equazione
è possibile estendere i principi di equivalenza delle equazioni alle
operazioni con espressioni algebriche anche contenenti l'incognita.
| Nell'esempio della pagina collegata un noto
"paradosso" ottenuto con una non corretta applicazione dei
principi di equivalenza. Clicca sull'icona a lato poi controlla i calcoli e scopri l'errore. |
Curiosità e trucchi |
Esempi
Il principio di equivalenza delle equazioni (oltre alle solite regole
di calcolo numerico e letterale) è l'unica regola che utilizzeremo per
risolvere tutti i tipi di equazione che vedremo nel corso di questo
modulo.
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