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  Equazioni letterali

 A volte le equazioni possono contenere oltre all'incognita  anche altre lettere o parametri. Tali equazioni vengono dette equazioni letterali e vanno risolte con opportune cautele. Infatti ogni equazione letterale non rappresenta un'unica equazione, ma di solito infinite, tutte quelle cioè che si possono ottenere sostituendo al parametro i valori numerici del suo insieme di definizione.

Esempio 1

Per chiarire quanto detto supponiamo data la seguente equazione letterale:

L'equazione data non rappresenta un'unica equazione, ma infinite: tutte quelle che si ottengono sostituendo al parametro a un numero reale.

E' allora importante discutere l'equazione: chiederci cioè se  è sempre determinata oppure  se per particolari valori del parametro diventa impossibile od indeterminata.
Risolviamo e discutiamo ora la precedente equazione
 
Si spostano i termini con l'incognita e quelli senza  cambiando il segno
Si mette in evidenza l'incognita: l'operazione è indispensabile per poter effettuare il passaggio successivo.
n questo caso il coefficiente dell'incognita contiene il parametro a.
La soluzione trovata è valida solo per quei valori  che non annullano il coefficiente della x.
Occorre poi controllare cosa succede sostituendo al parametro i valori esclusi precedentemente. Per questi valori l'equazione sarà impossibile o indeterminata.

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Esempio 2

Come ulteriore esempio risolvere e discutere  in R la seguente equazione letterale
 
Arrivati alla forma  ax=b è necessario discutere 
Se il coefficiente della x non è nullo allora l'equazione è determinata.
Se questo non succede l'equazione sarà indeterminata se il termine noto è nullo, od impossibile in caso contrario.

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Esempio 3
Se l'equazione presenta anche dei denominatori letterali la risoluzione dell'equazione diventa un po' più complessa, ma non cambiano le modalità di discussione. Risolviamo e discutiamo ad esempio

Si eseguono inizialmente i calcoli indicati scomponendo in fattori i denominatori e riducendo le frazioni allo stesso denominatore.
Perché l'equazione abbia significato occorre imporre inoltre che i denominatori siano non nulli.
Nel nostro caso 

In queste condizioni si possono eliminare i denominatori e semplificare ulteriormente l'espressione riducendo i termini simili.
Si arriva infine alla forma ax=b. 
Se il coefficiente della x non è nullo allora l'equazione è determinata. Se questo non succede l'equazione sarà indeterminata se anche il termine noto è nullo, impossibile in caso contrario.

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