Metodi di risoluzione

Metodi di risoluzione

Consideriamo intanto un sistema di due equazioni in due incognite:

Trovare le soluzioni del sistema vuol dire trovare i valori delle due incognite che soddisfino entrambe le equazioni. Ci sono quattro metodi di risoluzione:

	Sostituzione
	Confronto
	Addizione e sottrazione o combinazione lineare
	Cramer

Metodo di sostituzione

Il metodo è abbastanza semplice anche se talvolta noioso nell'applicazione. D'altra parte sarà il metodo di solito applicato nei sistemi di grado superiore ed è quindi importante apprenderne perfettamente il meccanismo:

	si risolve un’equazione rispetto a un'incognita
	si sostituisce l'espressione trovata nell’altra
	si risolve l’equazione ottenuta, che è in una sola incognita
	si sostituisce il valore trovato nella prima equazione ricavando anche il valore della seconda incognita.

Esempio

	con Flash
	Si ricava un'incognita in una delle due equazioni. L'espressione trovata si sostituisce nella seconda equazione. Per rendere i calcoli più semplici conviene di solito ricavare se esiste l'incognita che ha coefficiente unitario. Sarà comunque l'esperienza a consigliarci di volta in volta.
	Si lavora sulla seconda equazione. Questa è una equazione in una sola incognita, quindi siamo in grado di risolverla.
	Il valore trovato viene ora sostituito nella prima equazione, si svolgono i calcoli, trovando il valore della seconda incognita.
	otteniamo infine le soluzioni cercate
Metti alla prova quanto appreso eseguendo gli esercizi proposti

Metodo di confronto

Il metodo è abbastanza simile al precedente.

	Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile,
	si impone che siano uguali (si confrontano) i secondi membri trovati
	si risolve l’equazione ottenuta, che è in una sola incognita
	si sostituisce il valore trovato nella prima equazione ricavando anche il valore della seconda incognita.

Esempio

	con Flash
	Risolviamo lo stesso sistema visto nel precedente esercizio. Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile
	Come prima equazione si prende una qualunque delle precedenti. Si impone poi che siano uguali (si confrontano) i secondi membri. ottenendo un'equazione in una sola incognita.
	si risolve l’equazione ottenuta trovando il valore di un'incognita
	Come nel caso precedente si sostituisce il valore dell'incognita trovata nella prima equazione ricavando anche il valore della seconda incognita
Metti alla prova quanto appreso eseguendo gli esercizi proposti

Metodo di addizione o sottrazione o di riduzione

Questo metodo, concettualmente più difficile, si basa sul principio di combinazione lineare o di riduzione e risulta di solito il più semplice da applicare.

	Si moltiplica una od entrambe le equazioni per dei fattori non nulli tali che rendano i coefficienti di un’incognita uguali (od opposti) nelle due equazioni.
	si sottrae (o si somma se i coefficienti sono opposti) membro a membro le due equazioni ottenendo in tal modo una equazione in una sola incognita
	si risolve l'equazione in una sola incognita
	si ripete il procedimento eliminando l'altra incognita. (Oppure si sostituisce il valore dell'incognita trovata in una delle due equazioni iniziali)

Esempio
Risolviamo ancora una volta lo stesso sistema

	con Flash
	Moltiplico entrambi i membri delle due equazioni per due numeri che rendano uguali i due coefficienti della x. Per fare questo può essere utile calcolare prima il mcm tra i coefficienti dati
	I coefficienti della x sono uguali. Si sottrae allora membro a membro. Attenzione ai segni!! Per evitare errori di segno conviene rendere i coefficienti opposti tra di loro cambiando se necessario i segni.(vedi)
	Dall'equazione precedente si ottiene immediatamente il valore della y che va sostituito in una delle due equazioni. (altro modo)
	Si ricava quindi il valore dell'altra incognita
Metti alla prova quanto appreso eseguendo gli esercizi proposti

Metodo di Cramer

Senza addentrarci nella teoria del calcolo matriciale illustriamo la regola pratica che può essere a volte particolarmente semplice da applicare.

Si chiama determinante un numero definito nel seguente modo:

Nota che l'espressione a destra è stata ottenuta facendo la differenza tra il prodotto dei valori della prima diagonale con quello della seconda.

In generale dato il sistema sia D il determinante visto sopra dove a, a', b, b' sono i coefficienti delle variabili x, y, siano

	Nota che in questo caso i coefficienti della x sono stati sostituiti con i termini noti
	Nota che in questo caso i coefficienti della y sono stati sostituiti con i termini noti

Le soluzioni del sistema sono date da

perché le frazioni abbiano significato occorre ovviamente che D=ab'-a'b ¹ 0

Se D=0 sono possibili due casi (controlla discussione)

	Dx=0 (Dy=0) allora il sistema è indeterminato
	Dx¹0 (Dy¹0) allora il sistema è impossibile

Vediamo il solito esempio

I tre determinanti saranno:

Di conseguenza le soluzioni saranno

Metti alla prova quanto appreso eseguendo gli esercizi proposti

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Discuss ione di un sistema

Questo sistema generico ammette soluzioni se ;
se il sistema è impossibile (non ha soluzioni);
se il sistema è indeterminato (ha infinite soluzioni)

Non è difficile dare una dimostrazione rigorosa delle affermazioni fatte (vedi pagina di approfondimento). Qui ci limitiamo a notare che: