Triangolo isoscele

Attività 4.

Teoremi del triangolo isoscele: In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali.
Euclide Libro 1, Proposizione n5

Teorema inverso: Se in un triangolo gli angoli alla base sono uguali, allora il triangolo è isoscele. Euclide Libro 1, Proposizione n6

L’esercitazione con si compone di due parti distinte: la costruzione della figura nella quale utilizzeremo il Cabri, la dimostrazione nella quale seguiremo il procedimento euclideo.

La costruzione

Costruiamo anzitutto il triangolo isoscele.
Con gli strumenti a disposizione il procedimento più semplice è il seguente (osserva la figura):

costruisci la retta r per due qualunque punti, che dovrà successivamente contenere la base BC del triangolo isoscele

costruisci un punto sulla retta (costruzione - punto su un oggetto)e chiamalo B ed un punto fuori dalla retta: A,

costruisci la circonferenza di centro A e raggio AB e determina l’ulteriore punto di intersezione con la retta data, sia C.

costruisci i tre segmenti AB, BC, AC ottenendo il triangolo ABC. Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC.
Perché?

Per completare la figura occorre ora prendere sui prolungamenti dei lati, dalla parte di B e C due segmenti congruenti BF e CG. Per fare questo con Cabri sono necessari i seguenti passi:

Costruisci le due rette passanti per AB e AC.

Sulla retta per AB prendi un punto F (costruzione -punto su un oggetto)

Costruisci la circonferenza di centro A e raggio AF e determina, dalla parte di C, il suo punto di intersezione con la retta per AC, chiamalo G.

Mediante la voce Creazione segmentodefinisci i segmenti BF, CG. Sarà evidentemente BF=AG.
Sai spiegare il perché?

La dimostrazione

Ipotesi: AB=AC Tesi: angolo ABC=angolo ACB

Proviamo anzitutto che sono uguali i due triangoli ABG, ACF. Iinfatti due triangoli hanno:

AB=AC per …….

AF=AG per ………

L’angolo in A in comune

Quindi sono uguali per il …………………………..
Di conseguenza sono uguali gli angoli in F ed in G ed i segmenti BF=CG.

Sempre in base allo stesso criterio si dimostra che sono uguali i due triangoli BCF e BCG.
Infatti i due triangoli hanno uguali……………………...................

...................................................

...................................................

Dall’uguaglianza dei due triangoli precedenti si deduce che sono uguali gli angoli FBC e GCB.
Di conseguenza gli angoli alla base essendo adiacenti e supplementari di angoli uguali sono a loro volta sono uguali.