Introduzione
Nel linguaggio comune parliamo di relazione tra due
oggetti, persone, fatti, idee, ecc quando tra di loro è esiste un qualche
tipo di legame.
Si parla ad esempio di relazioni di
parentela, di relazioni affettive, di relazioni tra eventi, relazioni di
causa ed effetto, ecc.
Il saper mettere in relazione è una delle attività principali della
nostra mente e costituisce la base di qualunque tipo di ragionamento e di
studio.
Tipicamente una relazione presuppone l'esistenza di almeno due termini
e la definizione del tipo di legame.
Negli esempi che seguono i termini della relazione sono colorati in verde,
mentre il tipo di legame (detto di solito predicato)
in rosso:
| 1° termine |
predicato |
2°
termine |
|
Andrea |
è più alto |
di
Paolo |
| Pietro |
è fratello di |
Sara |
| Luigi |
è nato in |
aprile |
| 4 |
è il quadrato di |
2 |
Cerchiamo di precisare il concetto di
relazione dal punto di vista matematico attraverso un esempio:
Considera i due seguenti insiemi:
A={uva, casa, tavolo, gatto}
B={1, 2, 3, 4, 5, 6}
E' possibile collegare gli elementi di A con quelli di B in modo che ad
ogni parola dell'insieme A corrisponda in B il numero delle sue lettere.
In questo modo abbiamo messo in 'relazione'
elementi di A con quelli di B.
Nota che abbiamo definito:
-
l'insieme A, (o insieme di partenza)
-
l'insieme B (o insieme di arrivo)
-
una proprietà: "avere
un dato numero di lettere"
Elenchiamo le coppie che vengono individuate: (uva, 3),
(casa, 4), (gatto, 5), (tavolo, 6).
La relazione può essere definita dall'insieme delle coppie che sono
associate tra di loro.
Tale insieme costituisce un sottoinsieme del
prodotto cartesiano.
Definizione di relazione tra due insiemi
E'
definita una relazione tra due insiemi non vuoti
A, B (che
possono anche coincidere) quando è dato un modo per associare
a certi elementi di A elementi di B.
Normalmente per
realizzare questa associazione viene data una proprietà, che indichiamo con r(x,y),
tale che presi due qualunque elementi xÎA
ed yÎB,
si verifichi:
o r(x,y)
vera
o
r(x,y) falsa
La
relazione si può
identificare con l'insieme di coppie ordinate (x,y) che
soddisfano la proprietà r,
quindi RÍA×B
Possiamo
allora dire che:
una
relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B
|
Esempio
Considera i due
insiemi A={3,4,5,6}
B={2, 3, 4}
La relazione R sia definita nel seguente modo:
x
r
y
Û x
è multiplo di y
Possiamo
rappresentare la relazione mediante l'insieme delle seguenti coppie per le quali
r è verificata
R={(3,3),(4,2),(4,4), (6,2),(6,3 A×B={(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),
(5,2),(5,3),(5,4),(6,2),(6,3),
(6,4)}
Cioè la relazione è un sottoinsieme del
prodotto cartesiano. |
