|
RELAZIONI |
Proprietà antiriflessiva
Definizione:
Una relazione definita in un insieme A si dice antiriflessiva se ogni elemento xÎA non è in relazione con se stesso.
Osserva
i due grafici della relazione antiriflessiva:
|
|
| La proprietà è antiriflessiva
perché da nessun elemento parte una freccia che ritorna all'elemento stesso.
|
La proprietà è antiriflessiva perché nessun elemento della diagonale principale
fan parte della relazione. |
In entrambi i grafici risulta
immediato dedurre che nessun elemento è in relazione con se stesso.
Sei in grado di definire una relazione che sia rappresentabile con i
grafici precedenti? |
|
Esempio |
La relazione R è definita nell'insieme
A={2,3,4,5,6,8} nel seguente modo
R={(x,y)|
x + y è dispari }
La
relazione è l'insieme formato dalle seguenti coppie:
R={(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5)}
Non solo non è riflessiva, ma poiché nessun elemento è in relazione con
sé stesso la
relazione è antiriflessiva. |
Controesempio |
La relazione
R è definita nell'insieme A={2,3,4,5,6,8} nel seguente modo
R={(x,y)|
x ×
y è multiplo di 4}
La relazione è l'insieme formato dalle seguenti coppie:
R={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(6,2),(6,4),(6,6),(6,8),(8,2),(8,4),(8,6),(8,8)}
Abbiamo già visto che la relazione non è riflessiva, ma non è neppure antiriflessiva
perché esistono elementi in relazione con se stessi, ad esempio il 4. |
Per ogn i xÎA indica che, poichè x
è un elemento qualunque, la proprietà deve valere per tutti gli elementi dell'insieme.
Allora per dimostrare che la proprieta è valida va verificata per tutti gli elementi
dell'insieme (o per il generico elemento), per dimostrare invece che non è valida basta
trovare un controesempio (cioè un caso nel quale non è valida)
|
