Proprietà simmetrica

RELAZIONI

Proprietà simmetrica
Definizione
Una relazione definita in un insieme A si dice simmetrica quando presi due elementi x,yÎA se è xry allora è anche yrx.

"x,yÎA se xryÞyrx

Osserva i due grafici di una relazione simmetrica definita in A={1, 2, 3, 4, 5}


La proprietà è simmetrica perché se da un elemento parte una freccia vi è anche una freccia che ritorna all'elemento stesso. Cioè, come dice la definizione se xryÞyrx.	La proprietà è simmetrica perché i punti sono disposti in modo simmetrico rispetto alla diagonale della tabella

Esempio

La relazione R è definita nell'insieme A={2,3,4,5,6,8} nel seguente modo

R={(x,y)| x + y è pari}

La relazione è l'insieme formato dalle seguenti coppie:
R={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),(6,8),(8,2),(8,4),(8,6),(8,8)}
La relazione è simmetrica in conseguenza della proprietà commutativa dell'addizione. Infatti

se x+y è pari Þ y+x è pari

Inoltre puoi notare che sono presenti le coppie
(2,4), (4,2), (2,6), (6,2), (2,8), (8,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4),(4,8), (8,4), (6,8), (8,6)

Controesempio

La relazione R è definita nell'insieme A={2,3,4,5,6,8} nel seguente modo

R={(x,y)| x è divisore di y }

La relazione è l'insieme formato dalle seguenti coppie:
R={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6),(4,4),(4,8),(5,5),(6,6),(8,8)}

La relazione è riflessiva perché ciascun elemento è in relazione con sé stesso.
Non è simmetrica: se x è divisore di y Þ non è y divisore di x