RELAZIONI

Proprietà transitiva
Definizione
Una relazione definita in un insieme A si dice transitiva se presi comunque tre elementi x, y, z e tali che sia xry e yrz, allora è anche xrz, allora è anche xrz.

• "x è maggiore di y" in un qualunque insieme numerico
• "x è minore di y" in un qualunque insieme numerico
• "x è parallela ad y" nell'insieme delle rette del piano
• "x è della stessa classe y" nell'insieme degli alunni della tua scuola
• "x è congruente ad y" nell'insieme delle figure del piano

• "x è perpendicolare a di y" nell'insieme delle rette del piano: infatti non è riflessiva, né transitiva

• "x è figlio di  y" nell'insieme delle persone:infatti non è riflessiva, ne simmetrica ne transitiva

• "x è amico di y" nell'insieme delle persone

Esempio

La relazione R è definita nell'insieme A={2,3,4,5,6,8} nel seguente modo

R={(x,y)| x < y }

La relazione è l'insieme formato dalle seguenti coppie:
R={(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,8),(4,5),(4,6),(4,8),(5,6),(5,8),(6,8)}
E' antiriflessiva nessun elemento è in relazione con sé stesso,
è antisimmetrica perché se x<y allora y>x,
è transitiva come si verifica facilmente:
per ogni terna dell'insieme  se a<b e b<c allora a<c per le proprietà della disuguaglianza.

Controesempio

La relazione R è definita nell'insieme N dei numeri naturali nel seguente modo

R={(x,y)| x è primo con y }

(ricorda: due numeri sono primi tra di loro se non hanno divisori in comune diversi dall'unità)
La relazione R non è riflessiva perché la coppia (x,x) non appartiene all'insieme.
E' simmetrica com'è facilmente verificabile.
Non è transitiva infatti:
2 è in relazione con 3,
3 è in relazione con 4,
2 non è in relazione con il 4.

Realizzato dal Prof. Luigi Monica docente di matematica ed informatica presso Istituto Tecnico Geometri 'C. Rondani'