RELAZIONI

Relazione d'ordine
Definizione 1:  
Una relazione definita in un insieme non vuoto A si dice di ordine se gode delle proprietà   

• antisimmetrica   
• transitiva                

Se vale anche la proprietà riflessiva si parla di "ordine largo"

Definizione 2:  
Una relazione definita in un insieme non vuoto A si dice di ordine stretto se gode delle proprietà

• antiriflessiva        
• antisimmetrica     
• transitiva                

Si parla di "ordine stretto" se vale la proprietà antiriflessiva .

Si parla infine di:
ordine totale       se  per ogni x, yÎA è  xry o yrx
ordine parziale  in caso contrario

Esempio

La relazione R definita nell'insieme N dei numeri naturali nel seguente modo

R={(x,y)| x ³ y }

E' riflessiva perché ciascun elemento è in relazione con sé stesso.
E' antisimmetrica perché se x³ y Þ non può essere y³x
E' transitiva perché se x³ y e y³z Þ x³z
Si tratta allora di una relazione di ordine.
In particolare poiché la relazione gode anche della proprietà riflessiva si tratta di ordine largo

Contro esempio

R={(x,y)| x×y è pari}

La relazione non è riflessiva, (esistono elementi che non sono in relazione con sé stessi)
è simmetrica,                          (per la proprietà commutativa della moltiplicazione)
è transitiva                              (verificalo!!)
Non è di conseguenza una relazione d'ordine.

Realizzato dal Prof. Luigi Monica docente di matematica ed informatica presso Istituto Tecnico Geometri 'C. Rondani'