RELAZIONI

Relazione di equivalenza
Definizione
  Una relazione definita in un insieme A si dice di equivalenza se gode delle proprietà

Si tratta in parole semplici di relazioni per le quali alcuni elementi dell'insieme si equivalgono in base ad una determinata caratteristica comune, possiamo anche dire che, dal punto di vista della relazione,  non esistono  differenze tra due elementi equivalenti.

Sono relazioni di equivalenza

• "essere parallele" nell'insieme delle rette del piano
• "essere isometrici", oppure "avere lo stesso perimetro"... nell'insieme dei triangoli
• "avere la stessa altezza", 
• "essere nati nello stesso anno", "risiedere nella stessa città", ... nell'insieme delle persone

• ...........

Le relazioni di equivalenza sono particolarmente importanti perché permettono di classificare gli elementi di un insieme in base ad una loro proprietà comune.

Esempio

La relazione definita nell'insieme dei cittadini italiani nel seguente modo

R={(x,y)| x risiede nella stessa città di y}

Come si verifica facilmente è una relazione che gode delle proprietà 
riflessiva, 
simmetrica, 
transitiva.
quindi è una relazione di equivalenza.
Quali sono gli elementi equivalenti tra di loro?

Controesempio

R={(x,y)| x×y è pari}

La relazione è l'insieme formato dalle seguenti coppie:
R={(2,2), (2,4),(2,6), 2,8), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,6), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6), (8,8)}
Non è riflessiva perché esiste almeno un elemento che non è in relazione con sé stesso: il 3
è simmetrica (in base alla proprietà commutativa della moltiplicazione)
è transitiva? Controlla tu.
Non è quindi una relazione di equivalenza

Realizzato dal Prof. Luigi Monica docente di matematica ed informatica presso Istituto Tecnico Geometri 'C. Rondani'