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Hai già visto, nei
precedenti anni la definizione di potenza e le sue proprietà.
Al momento dovresti essere in grado di dare un significato a tutte le potenze
che hanno per base un numero reale positivo e per esponente un numero razionale. Prima di
estenderne la definizione alle potenze con esponente reale, ricordiamo comunque le definizioni di potenza
con esponente intero positivo, intero negativo e razionale.
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Potenza ad
esponente intero positivo, in simboli
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Potenza ad
esponente intero negativo, in simboli
(osserva
che se nÎN
allora -n
è intero negativo).
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| Potenza ad
esponente razionale positivo, in simboli
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Potenza ad
esponente razionale negativo, in simboli
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Passiamo
ora a definire le potenze con esponente irrazionale, considerando alcuni esempi.
Esempio
1. Consideriamo
la potenza  ,
avente come base il numero naturale 2 ed esponente irrazionale
Il
numero
è un numero irrazionale, la cui rappresentazione decimale è:
 =
1,7320508075...
(parte decimale illimitata non periodica)
Il
numero irrazionale
si può anche definire come elemento separatore della coppia di classi dei suoi
valori approssimati per difetto e per eccesso a meno di 1, 1/10, 1/102,
1/103,
etc...
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1 |
1,7 |
1,73 |
1,732 |
... |
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2 |
1,8 |
1,74 |
1,733 |
... |
Ora vediamo la
potenza
,
risulta:
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21 |
21,7 |
21,73 |
21,732 |
... |
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22 |
21,8 |
21,74 |
21,733 |
... |
e,
arrotondando le prime per difetto e le seconde per eccesso, la potenza
è univocamente determinata come elemento separatore della nuova coppia di
classi:
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2 |
3,24 |
3,31 |
3,32 |
... |
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4 |
3,49 |
3,35 |
3,33 |
... |
Ossia:
2<<4
3,24<<3,49
3,31<<3,35
3,32<<3,33
...
Dunque,
tali classi definiscono la potenza
con esponente irrazionale.
Esempio
2.
Consideriamo
la potenza 
,
avente come base il numero naturale 3 ed esponente
 .
Il
numero
è un numero irrazionale, la
cui rappresentazione decimale è:
=
1,4142135623...
Il
numero irrazionale
si può identificare come elemento separatore della coppia di classi dei suoi
valori approssimati per difetto e per eccesso a meno di 1, 1/10, 1/102,
1/103,
etc...
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1 |
1,4 |
1,41 |
1,414 |
... |
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2 |
1,5 |
1,42 |
1,415 |
... |
Calcoliamo
ora la potenza  :
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31 |
31,4 |
31,41 |
31,414 |
... |
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32 |
31,5 |
31,42 |
31,415 |
... |
da
cui:
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3 |
4,65 |
4,70 |
4,72 |
... |
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9 |
5,19 |
4,75 |
4,73 |
... |
Ossia:
3<<9
4,65<<5,19
4,70<<4,75
4,72<<4,73
...
Tali
classi individuano la potenza
con esponente irrazionale.
Si può dimostrare che per le
potenze con esponente irrazionale valgono le stesse proprietà già
enunciate per le potenze con esponente razionale:
 e
-
Moltiplicazione
di potenze aventi stessa base:
-
Divisione
di potenze aventi stessa base:
-
Potenza
di potenza :
-
Moltiplicazione
di potenze aventi stesso esponente:
-
Divisione di potenze aventi
stesso
esponente:
ESERCIZI
Applicando le
proprietà delle potenze con esponente reale, eseguire i seguenti esercizi:
Esercizio 1.
Calcola il
valore della seguente espressione irrazionale
Si ha
 ,
applicando la
regola 1 si può scrivere:
ed applicando la
regola 3, si ha:
Quindi riassumendo
Esercizio 2.
Verificare che
Si può
scrivere:
Applicando la
proprietà delle potenze 2 si ha:
Esercizio 3.
Verificare
che 
Applicando le
proprietà delle potenze 4 e 5 si ha:
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