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Definizione di logaritmo

Definizione

Si dice LOGARITMO in base a, con , di un numero reale positivo b, e si scrive logab, l'esponente al quale occorre elevare a per ottenere b. In simboli

a si dice base del logaritmo,

b si dice argomento del logaritmo.

Osservazioni

  1. La scrittura log senza aver specificato base e argomento è priva di significato, è come scrivere senza aver specificato indice e radicando.

  2. Se il numero di cui si vuole calcolare il logaritmo è espresso già come potenza della base si ha
                                     
    in particolare
                                     

Esempi

Calcolare i seguenti logaritmi:

1.  2.   3.   4.  5.

Il calcolo è abbastanza semplice quando è possibile esprimere sia la base a che l'argomento b come potenza di una stessa base (vedi osservazione 2). In caso contrario, come vedremo più avanti, sarà necessario utilizzare una calcolatrice scientifica.

1. Occorre chiedersi:
     qual è l'esponente che devo dare a 2 per ottenere 8?

      

2. Occorre chiedersi:
     qual è l'esponente che devo dare a 3 per ottenere 27?

      

3. Occorre chiedersi:
     qual è l'esponente che devo dare a 7 per ottenere 1/49?

      

4. Occorre chiedersi:
     qual è l'esponente che devo dare a 1/2 per ottenere 4?

     

5. Occorre chiedersi:
     qual è l'esponente che devo dare a 3 per ottenere 1?

      

Osservazione
Il risultato ottenuto nell'esercizio 5 vale qualunque sia la base:

Dal grafico della funzione logaritmica

si ricava che:

se il numero b di cui si vuole calcolare il logaritmo è maggiore della base a, allora il suo logaritmo è maggiore di 1 (parte grafico color giallo)

se il numero b di cui si vuole calcolare il logaritmo è compreso tra 1 e la base a, allora il suo logaritmo è compreso tra 0 ed 1 (parte grafico verde)

se il numero b di cui si vuole calcolare il logaritmo è compreso tra 0 ed 1, allora il suo logaritmo è negativo (parte grafico rossa)

 

Fino ad ora abbiamo considerato esempi nei quali si voleva calcolare il valore del logaritmo conoscendo base e argomento, procedendo nel seguente modo:

si scrive l'equazione esponenziale associata: ,

se l'argomento si può esprimere mediante una potenza della base, si applicano le proprietà delle potenze ricavando il valore della x

Vogliamo ora calcolare

  1. la base, noti l'argomento ed il logaritmo

  2. l'argomento noti la base ed il logaritmo

Vediamo la procedura per determinare la base x in .
Per definizione di logaritmo abbiamo:
                                   
L'equazione è risolvibile facilmente se anche a si può esprimere come potenza con esponente b applicando le proprietà delle potenze.

Esempio 1

Determinare x in .
L'equazione associata è dalla quale deduco immediatamente
(osserva che la soluzione deve essere positiva per le ipotesi poste sulla base)

Esempio 2

Determinare x in .
L'equazione associata è dalla quale deduco

Vediamo ora la procedura per determinare l'argomento x in .
Per definizione di logaritmo abbiamo:
                                   
Quindi risolvibile facilmente come potenza applicando eventualmente le proprietà delle potenze.

Esempio 3

Determinare

Per la definizione di logaritmo si ha subito

Esempio 4

Determinare

Per la definizione di logaritmo si ha:

LOGARITMI DECIMALI

In passato, quando avevano una notevole importanza per i calcoli, i logaritmi utilizzati più frequentemente erano quelli in cui la base è 10, detti logaritmi decimali. Essi sono indicati con o anche semplicemente con log x (notazione anglosassone)

Esempi

Per verificare i risultati, come per calcolare il logaritmo in base 10 di un qualunque numero, puoi utilizzare la calcolatrice scientifica dove i logaritmi decimali sono indicati con la notazione anglosassone (log).

LOGARITMI NATURALI

Si dicono logaritmi naturali o neperiani i logaritmi che hanno come base il numero irrazionale e detto numero di Nepero.

Il numero di Nepero e è un numero trascendente, le cui prime cifre decimali sono

Il logaritmo in base e si indica di solito con ln x.

LOGARITMI NON ESPRIMIBILI COME POTENZA DELLA BASE

Come abbiamo visti in precedenza è facile calcolare il logaritmo di un numero che è potenza della base, ad esempio .

Ben più difficile risulta calcolare . Come è possibile risolverlo?

Per calcolare un logaritmo di questo tipo introduciamo il Teorema del Cambiamento di Base che dimostreremo più avanti.

TEOREMA del CAMBIAMENTO di BASE.

Siano e ,  .
Dal teorema è immediato dedurre la seguente proprietà:.
Infatti mediante la formula del cambiamento di base si ha:

Esempio.

Calcolare .

Applicando il teorema del cambiamento di base, si ha che . Utilizzando una calcolatrice scientifica si ottiene:

e quindi
.

OSSERVAZIONE.
Utilizzando il teorema del cambiamento di base è possibile calcolare, mediante l'uso di una calcolatrice tascabile, i logaritmi in una base qualsiasi, dopo averli convertiti o in base e oppure in base 10.