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Dalle
proprietà delle potenze si ricavano le proprietà dei logaritmi.
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Proprietà 1 |
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(1) |
Il logaritmo
del prodotto di due numeri reali positivi è uguale alla somma dei
logaritmi aventi per argomenti i singoli fattori e per base la stessa
base.
oppure
La somma di
due o più logaritmi aventi ugual base, di numeri reali positivi, è uguale
al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il prodotto
degli argomenti.
Per dimostrare la proprietà basta
tenere presente la definizione di logaritmo e le proprietà delle potenze:
si ottiene subito:
Esempio 1.
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Calcolare
Primo
modo.
ed in base alla definizione di logaritmo, si ottiene
Secondo
modo.
Applichiamo la proprietà (1):
ma
 ,
quindi si ha
Ovviamente i due risultati coincidono. Quando non si è sicuri del
risultato utilizzando entrambi i metodi si ha una verifica della
correttezza. |
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Esempio
2.
Calcolare  .
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Esempio
3.
Calcolare  .
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Osservazione 1.
Attenzione!!! E' errato affermare
 !!
Non si
deve confondere
con 
Osservazione
2.
Nella (1), l'ipotesi che
i due fattori m, n siano positivi è necessaria. Infatti se i
due fattori fossero negativi non si potrebbe applicare la proprietà perché
avrebbe senso, in quanto l'argomento risulta positivo perché prodotto di
due fattori negativi, mentre logam
e logan sono privi di
senso avendo argomento negativo.
Per esempio:
mentre non è possibile applicare la proprietà (1) poiché le scritture
 e
 sono prive di
significato, in quanto il logaritmo non è definito per argomenti negativi
.
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Proprietà
2 |
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(2) |
Il logaritmo
del quoziente di due numeri reali positivi, è uguale alla differenza dei
logaritmi del dividendo e del divisore aventi la stessa base del logaritmo
di partenza.
oppure
La
differenza di due logaritmi con ugual base e di argomenti reali positivi,
è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il
quoziente dei due argomenti.
Dimostra tu la proprietà sulla
falsariga della precedente.
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Esempio
1.
Calcolare  .
Primo
modo
Come nello svolgimento del primo esempio della
proprietà precedente, anche in questo caso si possono sviluppare i
calcoli numerici indicati nell'argomento del logaritmo assegnato:
Secondo
modo
Applichiamo la proprietà (2):
Da cui, sapendo che
si ha
 .
Esempio
2.
Calcolare  .
Esempio
3.
Calcolare  .
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Proprietà
3 |
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 (3) |
Il logaritmo
di una potenza di un numero positivo è uguale al prodotto tra l'esponente
della potenza e il logaritmo, sempre nella stessa base, del numero
positivo dato.
oppure
Il prodotto
di un numero per il logaritmo di un numero positivo è uguale al
logaritmo avente per base la stessa base e per argomento una potenza che
ha per base l'argomento del precedente logaritmo e per esponente il
fattore che moltiplicava il logaritmo precedente.
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Esempio
1.
Calcolare 
Applicando la proprietà (3), si ottiene:
Esempio
2.
Calcolare
Applicando la proprietà (3), si ottiene:
Esempio
3.
Calcolare 
Applicando direttamente le proprietà dei logaritmi, si ottiene:
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Proprietà
4 |
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(4) |
Il logaritmo
della radice n-esima di un numero positivo è uguale al prodotto
dell'inverso dell'indice per il logaritmo del radicando.
oppure
Il quoziente
tra il logaritmo di un numero positivo e un numero naturale n è
uguale al logaritmo della radice n-esima avente per radicando l'argomento
del logaritmo.
Osservazione. Questa proprietà è un'immediata conseguenza della proprietà
(3). Vedi l'esempio seguente.
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Esempio
1.
Calcolare  .
Applicando la proprietà (4), si ottiene:
Lo
stesso risultato si otteneva applicando la proprietà (3):
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Ricordiamo altre proprietà, già ampliamente utilizzate, conseguenze
immediate della definizione:
Riprendiamo
e dimostriamo ora la regola per il cambiamento di base che abbiamo visto
nella precedente unità:
Si ha:
 per definizione
di logaritmo.
applicando i logaritmi nella base a all'uguaglianza sopra ed applicando le proprietà
dei logaritmi si ottiene
 quindi
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