Funzione logaritmica

Funzione logaritmica

Introduciamo ora la funzione logaritmica, strettamente collegata con la funzione esponenziale precedentemente vista.

Definizione.

Si dice funzione logaritmica ogni funzione tale che , con .

Confronta la definizione appena data con quella della funzione esponenziale: noterai che la funzione esponenziale è l'inversa della funzione logaritmica per cui

	dominio e codominio si scambiano (confronta le definizioni)
	i grafici delle due funzioni sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante
	Come conseguenza di quanto detto si ha che la curva logaritmica è crescente se è a >1, decrescente se 0<a<1, interseca l'asse delle ascisse nel punto di coordinate (1,0)

Esempio 1.

Disegnare per punti il grafico della funzione logaritmica: Caso a>1 confrontandolo con quello della funzione esponenziale .

Cosa si può osservare?

	Il grafico giace tutto nel semipiano positivo ascisse.
	Il grafico non interseca l’asse delle ordinate.
	Il grafico interseca l’asse delle ascisse nel punto (1,0).
	È una funzione monotona crescente (cresce sempre più lentamente al crescere della x).
	Ha come asintoto verticale: l'asse delle y
	Il grafico è il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante di quello della funzione esponenziale corrispondente

Esempio 2.

Disegnare per punti il grafico della funzione logaritmica: Caso 0<a<1 confrontandolo con quello della funzione esponenziale

Cosa si può osservare?

	Il grafico giace nel semipaino positivo delle ordinate.
	Il grafico non interseca l’asse delle ordinate.
	Il grafico interseca l’asse delle ascisse nel punto (1,0).
	Ha come asintoto verticale: l'asse delle y
	È una funzione monotona decrescente.
	Il grafico è il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante di quello della funzione esponenziale corrispondente
	Se le basi sono una inversa dell'altra le due funzioni logaritmiche sono simmetriche rispetto all'asse delle ascisse (osserva figura sottostante)

Esempio 3.

Per quale valore della variabile x le seguenti funzioni logaritmiche sono definite (base 10)?

a)	b)	c)
d)	e)	f)

Per determinare per quali valori della variabile x è una funzione logaritmica è definita occorre imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo. Se anche la base è funzione della variabile occorrerà inoltre imporre che questa sia positiva e diversa da 1 (controlla la definizione) .

a)
Deve essere:
quindi

Deve essere:

quindi

Deve essere

quindi

Deve essere (confronta il segno del numeratore e denominatore):

quindi

Poiché la radice non è mai negativa, basta imporre che il radicando sia positivo, cioè:

In questo caso basta imporre che l'argomento non sia nullo cioè

Riassumendo: nella funzione logaritmica y=log_ax

il dominio è .
il codominio è .
se a>1 la funzione è monotona crescente.
se 0<a<1 la funzione logaritmica è una funzione monotona decrescente.
i grafici delle funzioni logaritmiche di equazione sono simmetrici rispetto l’asse delle ascisse.

Osservazione.
Dall'ultima proprietà appena vista sii deduce subito (ma lo sai dimostrare?) che .

Altri grafici derivabili da quello della funzione esponenziale

Nel grafico che segue sono rappresentate le seguenti funzioni:
ottenute dalla esponenziale con modifiche dei segni

Negli esempi che seguono la funzione presenta dei valori assoluti:

Vi sono poi tutte le varie combinazioni che si possono ottenere applicando anche una traslazione, ma lasciamo tali grafici come esercizio.

Esercizio

Rappresentare sul piano cartesiano le seguenti funzioni:

(clicca poi sulle singole funzioni per controllare la correttezza di quanto fatto)