Equazioni esponenziali

Un'equazione esponenziale è una equazione del tipo , dove a è un numero reale positivo diverso da 1. Per la loro risoluzione si procede trasformando, se possibile, b in potenza di a, ed eguagliando gli esponenti. Se questo non è possibile occorre utilizzare i logaritmi.

Vediamo subito alcuni esempi.

Esempio 1.

Risolvere l'equazione esponenziale.

Per risolvere  l'equazione data occorre trovare quel valore che, sostituito alla x, faccia essere vera l'uguaglianza. L'equazione precedente può essere scritta sotto la forma .Dall'uguaglianza delle basi si deduce quella degli esponenti. L'equazione è perciò vera per x=0. La soluzione dell'equazione è pertanto x=0.

Esempio 2.

Risolvere l'equazione esponenziale .

Si ha che    , quindi . La soluzione dell'equazione è pertanto x=-3.

Esempio 3.

Risolvere l'equazione esponenziale .

Si ha che  , quindi . La soluzione dell'equazione è pertanto .

N.B. Negli esempi fino ad ora visti in entrambi i termini dell'equazione compaiono potenze aventi la stessa base. La funzione esponenziale è monotona, crescente o decrescente, si può dimostrare che due potenze con la stessa base sono uguali  solo se sono uguali i loro esponenti, quindi

.

Non sempre è possibile scrivere i termini con potenze aventi ugual base, vediamo un esempio.

Esempio 4.

Risolvere l'equazione esponenziale .

Per risolvere l'equazione di questo tipo, dove i termini dell'equazione non sono potenze aventi la stessa base, è necessario applicare i logaritmi. Per definizione di logaritmo la soluzione dell'equazione è .
(x è l'esponente da dare a 2 per ottenere 9)

In genere, data l'equazione esponenziale , con e b>0, la sua soluzione si può sempre scrivere, vedi definizione logaritmo, come . 

L'equazione esponenziale può essere risolta graficamente mediante il sistema equivalente

la prima equazione ha come grafico la funzione esponenziale, la seconda equazione ha grafico una retta parallela all'asse delle ascisse. La soluzione dell'equazione esponenziale è l'ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione esponenziale di equazione e la retta di equazione .

Esaminiamo i possibili casi:

1. se i grafici della funzione esponenziale e della retta non si intersecano in alcun punto: pertanto l'equazione esponenziale non ammette soluzioni.
2. se b=0 la retta di equazione coincide con l'asse delle ascisse, anche in questo caso i grafici della funzione esponenziale e della retta non hanno punti in comune e l'equazione esponenziale non ammette soluzioni.
3. se il grafico della funzione esponenziale e la retta si intersecano in un sol punto (la funzione esponenziale è monotona). Pertanto l'equazione esponenziale ammette una sola soluzione.

Riassumendo, l'equazione esponenziale con è:

Vediamo ora la risoluzione di equazioni esponenziali nelle quali l'esponente è un'espressione algebrica contenente un'incognita, ovvero equazioni del tipo:

che  si risolve ponendo

Esempio 1.

Risolvere l'equazione esponenziale .

L'equazione è impossibile, infatti -25<0. La funzione esponenziale e la retta y=-25 non si intersecano in alcun punto.

Esempio 2.

Risolvere l'equazione .

Si ha che e , quindi l'equazione esponenziale diventa .  L'equazione esponenziale si risolve ponendo 2x=5.
La soluzione è .

Esempio 3.

Risolvere l'equazione esponenziale .

Applicando le proprietà delle potenze si può riscrivere l'equazione come:
, ed eguagliando gli esponenti .
Risolvendo l'equazione di primo grado si ottiene la soluzione x=0.

Esempio 4.

Risolvere l'equazione esponenziale .

Applicando le proprietà delle potenze si può scrivere:

 da cui eguagliando gli esponenti  .
Risolviamo quest'ultima equazione.

Il dominio di variazione è .

La soluzione dell'equazione esponenziale è  x=1.

Esempio 5.

Risolviamo l'equazione esponenziale .

Ponendo e sostituendo nell'equazione esponenziale data, si ottiene . Risolvendo l'equazione di secondo grado nell'incognita k, si ha

Ricordando la posizione fatta e sostituendo al posto di k i valori trovati, si ha:

equazione impossibile per quanto visto sopra

Esempio 6.

Risolvere l'equazione esponenziale .

Il dominio dell'equazione è .

Per le proprietà delle potenze si ha:

Pertanto la soluzione approssimata è x=0.7004...

Esempio 7.

Risolvere graficamente la seguente equazione esponenziale .

Il dominio dell'equazione è . L'equazione si può risolvere solo graficamente. Riscriviamola come:

ed è equivalente al sistema

Rappresentando graficamente le due funzioni si ottiene:

Il grafico della funzione esponenziale e il grafico della retta non si intersecano in alcun punto, ne segue che l'equazione esponenziale non ha soluzioni.

OSSERVAZIONE.
Ti sei chiesto il motivo per il quale si è posto ?

Consideriamo l'equazione esponenziale , cosa accade quando n=1? e quando n¹1?

Osserva che se n=1, l'equazione è indeterminata poiché è verificata per ogni x; mentre se n¹1, l'equazione non è mai verificata e quindi è impossibile.