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Disequazioni esponenziali | ||||||||||||||||||||
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Definizione. Si chiama disequazione esponenziale elementare ogni disequazione che sia riconducibile ad una delle seguenti forme
con
Risolvere una disequazione esponenziale elementare significa cercare gli intervalli di numeri reali che rendono vera la disequazione. Ciò si può fare confrontando le ordinate dei punti del grafico della funzione esponenziale con le ordinate dei corrispondenti punti del grafico della funzione costante y=b Se il numero b è negativo o nullo si ha che la disequazione
Esempio 1.
Risolvere la disequazione
La disequazione è verificata per ogni x reale, vediamo la situazione in un grafico:
Esempio 2.
Risolvere la disequazione
La disequazione non è verificata per nessun x reale, vediamo la situazione in un grafico:
Se il numero b è positivo la disequazione esponenziale è, elementarmente, risolvibile solo se b è una potenza del numero reale a; distinguiamo due casi:
1° caso
La funzione esponenziale è una funzione decrescente quindi il valore della potenza decresce al crescere dell'esponente: in altre parole la disequazione tra esponenziali si traduce in una disequazione tra gli esponenti ma con il verso cambiato (controversa). Quindi si ha
Esempio 1.
Risolvere la disequazione
Esempio 2.
Risolvere la disequazione
2° caso
La funzione esponenziale è una
funzione crescente, quindi il valore della potenza cresce al
crescere dell'esponente: in altre parole la disequazione tra esponenziali
si traduce in una disequazione tra gli esponenti con lo stesso
verso.
Esempio 1.
Risolvere la disequazione
Esempio 2.
Risolvere la disequazione
Fino ad ora abbiamo esaminato solo esempi in cui entrambi termini dell'equazione compaiono potenze aventi la stessa base, se b non è una potenza di a occorre applicare i logaritmi.
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è verificata per qualunque valore reale della variabile x;
non è verificata per alcun valore reale della variabile x.
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