Sistemi di equazioni esponenziali

Vediamo alcuni esercizi nei quali occorre conoscere le tecniche risolutive di equazioni esponenziali unitamente alle tecniche risolutive algebriche di sistemi.

Esercizio 1.

Risolvere il seguente sistema

Il sistema dato sopra può essere scritto come:

Risolvere il sistema dato è allora equivalente a risolvere il sistema

da cui con semplici calcoli si ottiene

Le soluzioni del sistema allora sono

Esercizio 2.

Risolvere il seguente sistema

Per risolvere il sistema dato, poniamo
(1)
 ottenendo il sistema nelle incognite t e z :

il sistema ottenuto è un sistema simmetrico. Risolvendolo si ottiene:

Sostituendo i valori trovati in (1) si ottiene

l'insieme delle soluzioni è pertanto: .

Esercizio 3.

Risolvere il seguente sistema

Per risolvere il sistema dato, poniamo

ottenendo un sistema nelle incognite t e z.

il sistema ottenuto è ancora un sistema simmetrico. Risolvendolo si ottiene:

Ne segue che le soluzioni del sistema simmetrico sono:

dalla prima soluzione:
                
dalla seconda:

l'insieme delle soluzioni è pertanto .

Esercizio 4.

Risolvere il seguente sistema

Applicando le proprietà delle potenze, il sistema può essere scritto come:

Dal quale eguagliando gli esponenti si ottiene un sistema di primo grado di facile risoluzione:

La soluzione del sistema è: .

Esercizio 5.

Risolvere graficamente il sistema

 

Dal grafico si può osservare che la retta di equazione è tangente nel punto P(0,1) al grafico della funzione esponenziale di equazione , quindi i due grafici si intersecano in P(0,1). E' poi facile verificare, sostituendo i valori numerici ottenuti nel sistema che tale coppia  soddisfa effettivamente il sistema dato. L'insieme delle soluzioni pertanto è .

Esercizio 6.

Risolvere graficamente il sistema

Il grafico della funzione esponenziale di equazione interseca la retta di equazione nei punti P(0,1) e Q(2,9).

 Le soluzioni del sistema sono pertanto .

Verifichiamo che le soluzioni trovate soddisfanno effettivamente il sistema:

- sostituiamo i valori della ascissa e dell'ordinata del punto di intersezione P(0,1)

  il sistema è verificato da (0,1).

- sostituiamo i valori della ascissa e dell'ordinata del punto di intersezione P(2,9)
il sistema è verificato da (2,9).