Equazioni logaritmiche

Equazioni logaritmiche elementari

Un'equazione logaritmica è un'equazione del tipo con   e .

 Consideriamo per esempio la seguente equazione:

Si tratta di un'equazione logaritmica perché l'incognita x compare come argomento di un logaritmo.

Per determinarne la soluzione, basta applicare la definizione di logaritmo.
Si ottiene:
  ed applicando le proprietà delle potenze,
che è la soluzione cercata.

Osservazione.

Si può dimostrare che al variare del parametro k nei reali, che l'equazione elementare con, ammette una e una sola soluzione positiva .

In particolare, risolvere l'equazione logaritmica equivale a risolvere il sistema
          
La soluzione dell'equazione logaritmica coincide con il valore della x soluzione del sistema. Graficamente, quindi, la soluzione è rappresentata dall'ascissa del punto di intersezione tra il grafico della funzione logaritmica e quello della retta y = k.

    Caso a>1

  Caso 0<a<1

Come emerge dalle figure, la retta y=k, che è parallela all'asse x, interseca sempre il grafico della funzione logaritmica  in un unico punto. Ne consegue che l'equazione logaritmica associata non è mai impossibile, anzi è sempre determinata e ammette sempre una e una sola soluzione reale.

Equazioni logaritmiche

Le equazioni logaritmiche si dividono in due tipologie:

1- Le equazioni riducibili a una forma canonica in cui primo e secondo membro sono espressi sottoforma di due logaritmi aventi la stessa base:

2- Le equazioni riducibili a una forma canonica in cui, mediante una posizione del tipo (con y incognita ausiliaria) si trasforma in una equazione ausiliaria nell'incognita y. Le sue soluzioni (y1, y2,...,yn) consentono di risalire a (x1, x2,...xn) soluzioni dell'equazione logaritmica inizialmente assegnata.

Vediamo ora alcuni esempi.

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione logaritmica

Per prima cosa, occorre ricordare che, nell'insieme dei numeri reali, non esiste il logaritmo con argomento negativo o nullo, pertanto l'incognita x dell'equazione data può assumere solo valori che rendono positivi gli argomenti dei logaritmi che compaiono nell'equazione stessa.

Ne segue che l'insieme di esistenza dei logaritmi è dato dalle soluzioni del sistema di disequazioni:

L'equazione logaritmica è definita quindi nell'insieme
 

La funzione logaritmica è biettiva, l'uguaglianza dei due logaritmi si ha allora se e solo se sono uguali i due argomenti. Di conseguenza l'equazione data equivale a con
Si ottiene:

soluzione accettabile poiché  .

Esempio 2.

Risolvere la seguente equazione logaritmica

Determiniamo l'insieme di esistenza:

La soluzione dell'equazione logaritmica va cercata nell'insieme .
Applicando le proprietà dei logaritmi, si ottiene

ed uguagliando gli argomenti
, da cui (osserva che non è necessario porre la condizione sul denominatore perché abbiamo già posto x>2 )

 soluzione non accettabile perché .

 Osservazione.
In alcuni casi può risultare difficile determinare l'insieme di esistenza dei logaritmi, nel quale si cerca la soluzione dell'equazione, attraverso il sistema. In tal caso è possibile risolvere direttamente l'equazione "degli argomenti" quindi verificare direttamente che questa sia effettivamente anche la soluzione dell'equazione logaritmica.

Esempio 3.

Risolvere la seguente equazione logaritmica

Unica condizione di esistenza del logaritmo è che sia x positivo.

Ponendo , e sostituendo nell'equazione data, si ottiene:

Sostituendo nuovamente:

La soluzione è pertanto x=5 (soluzione accettabile).

Esempio 4.

Risolvere la seguente equazione logaritmica

Unica condizione di esistenza del logaritmo è che sia x positivo.

Applicando il teorema del cambiamento di base si ha:

quindi l'equazione data diventa
  soluzione accettabile.

Esempio 5.

Risolvere la seguente equazione logaritmica

Ponendo le condizioni sulla base si ha .