disequazioni logaritmiche

Disequazioni logaritmiche elementari

Una disequazione logaritmica elementare si presenta nelle seguenti forme
oppure con

Le disequazioni logaritmiche possono essere risolte graficamente, stabilendo per quali valori di x il grafico della funzione logaritmica si trova al di sopra o al di sotto della retta :
la funzione logaritmica   interseca sempre la retta nel punto di ascissa .

Se la funzione logaritmica è monotona crescente:

Dall'esame della figura si può dedurre che

Osservazione.
Rifletti attentamente sul perché nel primo caso () abbiamo posto  la limitazione x > 0.

Se la funzione logaritmica è monotona decrescente:

Dall'esame della figura si può dedurre che

Osservazione. Come in precedenza anche ora occorre porre la condizione di esistenza del logaritmo: x > 0.

Osservazione.
Analogo procedimento per le disequazioni logaritmiche e , le soluzioni sono ancora quelle indicate nelle due tabelle, ma l'estremo è compreso nell'intervallo delle soluzioni, mentre l'estremo
x = 0 deve essere ancora escluso poiché per tale valore il logaritmo non è definito.

Vediamo alcuni esempi:

Esempio 1.

Risolvere la disequazione logaritmica .

Come prima cosa poniamo la condizione di esistenza del logaritmo: x > 0.
La base del logaritmo è maggiore di 1, siamo nel primo caso, quindi:

Esempio 2.

Risolvere la disequazione logaritmica

Anzitutto poniamo, come saempre, la condizione di esistenza del logaritmo: x > 0.
La base del logaritmo è minore di 1, siamo nel secondo caso, quindi si ottiene:

L'insieme delle soluzioni ottenute deve essere posto a sistema con la condizione di esistenza del logaritmo, otteniamo pertanto:
 

Esempio 3.

Risolvere la disequazione logaritmica

Come prima cosa poniamo la condizione di esistenza del logaritmo, l'argomento è x-2, quindi: , da cui .
La base del logaritmo è minore di 1, siamo nel secondo caso, quindi:
da cui .
L'insieme delle soluzioni ottenute deve essere ora posto a sistema con la condizione di esistenza del logaritmo, otteniamo pertanto:
.

Se la disequazione logaritmica non si presenta nella forma elementare presa in considerazione fino ad ora, occorre cercare di scrivere entrambi i membri dell'equazione come un solo logaritmo, in moda tale da poter confrontare, se la base è la stessa, gli argomenti.

La funzione logaritmica è una funzione monotona, crescente se la base è , decrescente se la base è. Si avrà:

Naturalmente, in ogni caso, è necessario imporre le condizioni di esistenza del logaritmo.

Esempio 4.

Risolvere l'equazione logaritmica .

Imponiamo le condizioni di esistenza dei logaritmi che compaiono nella disequazione:

Applichiamo le proprietà dei logaritmi alla disequazione di partenza e otteniamo

Passando alla disequazione relativa agli argomenti (poiché a >1 il verso della disequazione si mantiene):

la disequazione è verificata .
Mettendo a sistema l'insieme delle soluzioni ottenuto e la condizione di esistenza dei logaritmi, si ha:

Ne segue che la soluzione della disequazione logaritmica data è .

Esempio 5.

Risolvere la seguente equazione logaritmica .

Imponiamo le condizioni di esistenza del logaritmo

La condizione di esistenza pertanto è: .

Perché il sia negativo o nullo deve essere:

Quest'ultima, a sua volta è una disequazione logaritmica, passando alla disequazione degli argomenti, si ha:

Ponendo a sistema l'insieme delle soluzioni ottenuto e l'insieme di esistenza si ha: