VERIFICA - DEFINIZIONE DI LOGARITMO

Esercizio 1.

Dato con   e stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali sono false.

(a) è equivalente a   Falsa
Ricorda che per la definizione di logaritmo a è l'esponente che occorre dare ad x per ottenere y, ovvero xa=y
(b) è equivalente a   Falsa
Ricorda che per la definizione di logaritmo a è l'esponente che occorre dare ad x per ottenere y, ovvero xa=y
(c) è equivalente a Vera  
 Per la definizione di logaritmo
(d) è equivalente a   Falsa
Ricorda che per la definizione di logaritmo a è l'esponente che occorre dare ad x per ottenere y, ovvero xa=y
(e) se y =1 allora a=0. Vera  
Infatti, per la definizione di logaritmo, qualsiasi sia si ha , poiché .
(f) se x = y allora a=1. Vera  

Infatti qualsiasi sia si ha poiché .
(g) se y = x allora a=0.    Falsa
Infatti qualsiasi sia si ha .
(h) se allora Vera  
Infatti qualsiasi sia si ha , poiché .
(i) se allora   Falsa

Infatti qualsiasi sia si ha che non è definito poiché l'argomento deve essere positivo.

 

Esercizio 2.

Stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali sono false.

(a) Per ogni .
FALSO.
L'affermazione vale solamente sotto opportune ipotesi. In questo caso non è corretta perché non sono corrette le premesse, infatti per definizione di logaritmo occorre che n sia diverso da 1 e 0 (e quindi non vale per tutti i reali positivi).
(b) Esiste almeno un numero reale positivo, , tale che .
VERO. 
Vedi anche risposta precedente: occorre porre attenzione alle ipotesi sulla base. Infatti per n = 1 (e anche per n = 0) il logaritmo non è definito e pertanto la disuguaglianza indicata non ha significato.
(c) Non esiste alcun valore reale positivo, , tale che .
FALSO.
Poiché per n = 1/2 si ha .
(d) Non esiste alcun valore reale positivo, , tale che .
FALSO. 
Per ogni si ha che . 
(e) Non esiste alcun valore reale positivo, , tale che .
VERO.
L'argomento deve essere diverso da zero, altrimenti il logaritmo non è definito.

Esercizio 3.

Stabilire quali tra i seguenti logaritmi sono corretti.

(a)
CORRETTO.
Infatti 1 è l'esponente che occorre dare a 5 per ottenere 5: 51=5
(b)
SBAGLIATO. Infatti
(c)
SBAGLIATO. Il logaritmo non è definito, l'argomento deve essere diverso da zero!
(d)
SBAGLIATO. Infatti .
(e)  
CORRETTO. Infatti -1 è l'esponente che occorre dare a 7 per ottenere .

Esercizio 4.

Stabilire quali tra i seguenti logaritmi sono corretti.

(a)
SBAGLIATO, infatti per ottenere l'argomento 9 occorre elevare la base all'esponente 4.  Si ha che:
    e
(b)
CORRETTO: Infatti si ha che .
(c)
SBAGLIATO: il logaritmo deve avere base e argomento positivi. 
(d)
CORRETTO.
 Infatti
(e)
SBAGLIATO.
 Infatti si ha che

Esercizio 5.

Stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali sono false.

(a) non è definito.
FALSO.  Il logaritmo è definito per ogni base e per ogni argomento .
(b) non è definito.
VERO. L'argomento deve essere diverso da zero.
(c) è positivo.
VERO.  Infatti
(d) è minore di 1, ma positivo.
VERO.  Infatti .
(e) è negativo.
FALSO: vedi sopra

Esercizio 6.

Noti base e logaritmo, stabilire se l'argomento indicato è corretto

(a) Se allora n=9.
FALSO.  Si verifica immediatamente che n = 8, infatti 23=8
(b) Se allora n=2.
FALSO.  Si verifica immediatamente che n = 5, infatti     
(c) Se allora .
VERO. Infatti
(d) Se allora n=2.
VERO.
(e) Se allora n=-2
FALSO. Si verifica immediatamente che n = +2.

Esercizio 7.

Noti argomento e logaritmo, stabilire se la base indicata è corretta

(a) Se allora n=2.
VERO. Infatti da si ha che ; da cui n=2
(b) Se allora
FALSO. Infatti da segue che n = 25.
(c) Se allora n=0,5.
VERO. Infatti.
(d) Se allora n=2/5. 
FALSO.  Si ha che n= 5/2, infatti
(e) Se allora n=2.
VERO.  Infatti

Esercizio 8.

Applicando il teorema del cambiamento di base, indica quale tra i seguenti valori corrisponde al logaritmo log32128

(a) 6/4.
(b) 7/5.
(c) 128/32.
(d) non è possibile determinarlo.
(e) nessuna delle precedenti.

La risposta corretta è la (b). Mediante cambiamento di base, si ha:  
L'utilizzo del cambiamento di base non è comunque indispensabile infatti: