Da Courant e Robbins ‘Che cos’è la matematica’ Universale Scientifica Boringhieri (1971)

Necessità intrinseca dei numeri razionali. Il principio di generalizzazione.

Oltre alla ragione pratica per l’introduzione dei numeri naturali, ve n’è una più intrinseca, e sotto qualche aspetto più impellente, che discuteremo ora indipendentemente da quanto precede. Essa è di carattere del tutto aritmetico e rappresenta una tendenza tipica dominante nei procedimenti della matematica.

Nell'aritmetica ordinaria dei numeri naturali si possono sempre eseguire le due operazioni fondamentali, l'addizione e la moltiplicazione. Ma le « operazioni inverse », la sottrazione e la divisione, non sono sempre possibili. La differenza b - a dei due numeri interi a, b è il numero intero c tale che a + c = b, cioè la soluzione dell'equazione a + x = b. Ma nel campo dei numeri naturali il simbolo b - a ha un significato soltanto con la restrizione b>a, perché soltanto in tal caso l'equazione a + x = b ammette come soluzione un numero naturale x. Un gran passo per rimuovere questa restrizione fu compiuto quando si introdusse il simbolo 0, ponendo a - a =0. Ma ancora più importante fu l'introduzione dei simboli -1, -2, -3, ... , che, insieme con la definizione

b-a= -(a-b),

nel caso b < a, resero la sottrazione possibile senza restrizioni nel campo dei numeri interi positivi e negativi. Per includere i nuovi simboli, -1, -2, -3, ..., in un'aritmetica più estesa che comprenda i numeri interi sia positivi che negativi, dovremo, naturalmente, definire le operazioni su di essi in maniera tale che siano mantenute le proprietà originarie delle operazioni aritmetiche. Per esempio, la regola

(-1)^.(-1)=1

che si stabilisce per la moltiplicazione dei numeri interi negativi, è una conseguenza del desiderio di mantenere la proprietà distributiva a (b + c) = ab + ac. Infatti, se si fosse stabilito che (-1) (-1) = -1, allora, ponendo a=-1, b=1, c=-1, si avrebbe -1 (1 – 1) = - 1 - 1 = - 2, mentre d'altra parte si ha -1(1-1)=-1=0. Molto tempo dovette passare prima che i matematici si accorgessero che la « regola dei segni » o le altre definizioni che regolano i numeri interi negativi e le frazioni non possono essere « dimostrate ». Esse sono state create da noi per avere libertà nelle operazioni e mantenere le proprietà fondamentali dell'aritmetica. Ciò che può - e deve - essere dimostrato è soltanto che, sulla base di queste definizioni, si mantengono le proprietà commutativa, associativa e distributiva dell'aritmetica. Perfino il grande Eulero ricorse ad un ragionamento niente affatto convincente per dimostrare che (-1) (-1) « deve » essere uguale a + 1. Tale prodotto - così egli ragionò -deve essere o + 1 o -1, e non può essere -1 perché –1=(+1) (-1)

Esattamente come l’introduzione dei numeri interi negativi e dello zero apre la via alla sottrazione senza restrizioni, così l'introduzione dei numeri frazionari rimuove l'analogo ostacolo aritmetico per la divisione. Il quoziente x=b/a di due numeri interi a e b, definito dall'equazione

(4) ax=b

esiste, come numero intero, soltanto se a è un divisore di b. Se questo non è il caso, come accade per esempio quando a =2, b=3, basta semplicemente introdurre un nuovo simbolo b/a, che chiamiamo frazione, soggetto alla regola a (b/a)=a, cosicché b/a è una soluzione della (4) « per definizione ». L'invenzione delle frazioni come nuovi simboli numerici rende possibile la divisione senza restrizioni, eccettuata soltanto la divisione per lo zero, che escluderemo una volta per tutte.

Espressioni come 1/0, 2/0 3/0, 0/0, ecc. saranno per noi simboli privi di significato. Infatti, se fosse ammessa la divisione per lo O, potremmo dedurre dalla uguaglianza vera 0^.1 0^.2 l'assurda conseguenza 1=2. Comunque, talvolta è utile indicare tali espressioni col simbolo ¥ (si legga: «infinito»), purché non si tenti di operare con il simbolo ¥ come se fosse soggetto alle ordinarie regole del calcolo sui numeri.

Il significato puramente aritmetico del sistema di tutti i numeri razionali - numeri interi e frazioni, numeri positivi e negativi - è ora evidente. Infatti in questo esteso campo di numeri non soltanto valgono le proprietà formali associativa, commutativa e distributiva, ma le equazioni a + x = b e ax = b hanno ora le soluzioni x=b-a e x= b/a, senza restrizioni, purché in questo ultimo caso sia a ¹ 0. In altre parole, nel dominio dei numeri razionali le operazioni cosiddette razionali - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione - possono essere eseguite senza restrizioni e non conducono mai fuori di questo dominio. Un tale insieme chiuso di numeri si dice un campo….

Estendere un dominio con l'introduzione di nuovi simboli, in modo tale che le leggi che valgono nel dominio originario continuino a valere nel dominio più esteso, è uno degli aspetti del caratteristico procedimento matematico di generalizzazione. La generalizzazione dai numeri naturali ai razionali soddisfa sia alla necessità teorica di rimuovere le restrizioni per la sottrazione e la divisione, sia alla necessità pratica che i numeri esprimano i risultati di certe misure. Il vero significato dei numeri razionali è nel fatto che essi soddisfano a questa duplice necessità. Come abbiamo visto, tale estensione del concetto di numero divenne possibile con la creazione di nuovi numeri sotto forma di simboli astratti, come 0, - 2, e 3/4. Oggi, che li trattiamo come cose ovvie, ci riesce difficile credere che fino al secolo XVII non venisse generalmente attribuita loro la stessa legittimità dei numeri interi positivi, e che fossero usati, se necessario, con una certa dose di dubbio e di preoccupazione. Responsabile di questa esitazione a compiere un passo inevitabile fu la tipica tendenza umana di tenersi al «concreto», come è dimostrato dai numeri naturali. Soltanto nel regno dell'astratto si può creare un sistema aritmetico soddisfacente.