...In un quadrato vi sono due lunghezze diverse, quella del lato e quella della diagonale. Grazie al teorema di Pitagora, è sufficiente conoscere una delle due per determinare l'altra. Per esempio, si consideri un quadrato il cui lato sia lungo 1; lo si scompone in due triangoli rettangoli isosceli uguali, la cui ipotenusa è la diagonale del quadrato. Poiché il quadrato della diagonale è uguale alla somma dei quadrati dei lati (ovvero 1+1), ne consegue che la lunghezza della diagonale è quel numero il cui quadrato è 2.
I pitagorici sono costretti a riconoscere, con una dimostrazione che non lascia nessun margine di dubbio, che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2. Viceversa, se si prende in considerazione un quadrato di diagonale 1, allora la lunghezza del lato è un numero il cui quadrato è uguale a 1/2; anche in questo caso si dimostra che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato è 1/2. La conseguenza è che il lato e la diagonale stesso quadrato non ammettono una misura comune! Se un numero rappresenta la misura di uno di essi non è possibile trovare un numero che rappresenti h misura dell'altro! Si dice che sono incommensurabili cioè è impossibile conoscerli insieme numericamente. Eppure i due segmenti sono là, insieme, sotto i nostri occhi. La realtà sembra indiscutibile, ma supera di gran lunga le nostre capacità numeriche.
Terribile! Si deve rimettere tutto in discussione. La teoria fallisce, si rivela incapace di rappresentare ciò che ci appare semplice e reale. Le grandezze geometriche che sfuggono alla numerabilità sono chiamate alogos, ovvero indicibili, inesprimibili. Non ci sono "parole" numeriche per designarle.
La misura della diagonale di un quadrato di lato 1 è un numero il cui quadrato è 2, e questo numero non esiste. Tuttavia la diagonale esiste. E anche la sua misura. Allo scopo di ricostruire l'edificio distrutto, i greci sviluppano una teoria che concerne soltanto le grandezze geometriche. Stabiliscono delle proporzioni tra le grandezze, ma rifiutano di chiamarli numeri. Bisognerà pazientare quasi duemila anni perché queste entità entrino a far parte dell'impero dei numeri. Rifiutando un rapporto razionale con l'unità, quel numero il cui quadrato è 2 e da cui tutto iniziò sarà il numero irrazionale "radice quadrata" di 2: Ö2.
Per provare che Ö2 non può essere un numero razionale, si ricorre a una dimostrazione per assurdo. Ogni numero razionale può essere rappresentato da una frazione irriducibile del tipo a/b. Supponiamo che esista un numero razionale a/b il cui quadrato sia uguale a 2. Allora a2/b2=2, da cui a2=2 b2. Osserviamo che in un quadrato, come a2, il fattore 2 o non appare affatto (se a è un numero dispari) o appare un numero pari di volte (se il 2 è fattore di a, allora in a2 il fattore 2 appare 2 volte). Nell'uguaglianza considerata si ha quindi che a sinistra il fattore 2 appare o zero volte o un numero pari di volte, mentre a destra appare o 1 volta oppure un numero dispari di volte (in quanto vi è un 2 in più, quello che moltiplica b2). Quindi l'uguaglianza è assurda.