Dai « debiti » ai « numeri negativi »

«Possibile che un procedimento così semplice sia venuto in mente agli uomini solo poco più di mille anni fa, e si sia precisato, e diffuso, neppure quattrocento anni fa? », chiederà forse qualcuno dei lettori. Vedete: a pensarci dopo, quasi tutte le grandi idee geniali sembrano semplici, perché, dopo, cioè quando sono state bene chiarite, non si scorgono più le grandi difficoltà che incontravano al loro sorgere. Cerchiamo allora di ricostruire qualcuna delle notevoli difficoltà che sono state di ostacolo alla nascita, e all'affermazione, delle semplici e geniali idee che sono alla base dell'algebra. Al solito, conviene partire da un esempio. Prendiamo un altro problema sul tipo di quello di prima:

« Io ho adesso 15 anni mio fratello ne ha 9. In quale momento della nostra vita la mia età è il doppio della sua? ».

L'incognita, x, è in questo caso il numero degli anni che debbo aggiungere tanto ai miei 15 quanto ai 9 di mio fratello per rendere la mia età doppia della sua. L'equazione è perciò subito scritta:

15 + x = 2 (9 + x), cioè:

15 + x = 18 + 2x.

«trasportando » il 18 al primo membro e la x al secondo, sempre con la regola al-giabr, ottengo

x = 15 - 18

18, però, è più grande di 15: come sottrarre 18 da 15? Da 15, per quello che so finora, posso togliere al più 15, e avrò zero; sottraendo 18, mi avanzano ancora 3 unità, dovrei andare « 3 sotto zero ». Si tratta però di x anni, e non è affatto detto che il richiesto rapporto tra le due età ci sarà « tra x anni »; potrebbe benissimo esserci stato « x anni fa ». Questo è esattamente il nostro caso. Infatti, è tre anni fa che l'età mia era doppia di quella di mio fratello (io ne avevo 12, lui 6). Tre anni fa, tre anni all'indietro, tre anni negativi: esattamente « tre sotto zero », tre in meno.

15 - 18 = - 3 (meno tre, numero negativo).

Già da questo primo esempio, ci si rende conto che i numeri negativi si conoscono... molto prima di conoscerli. In realtà, anche prima di cominciare a studiare l'algebra ci si abitua ad adoperare molti numeri negativi, senza però usare questo nome, e senza fare calcoli su di essi. Alle elementari abbiamo tutti imparato che in Siberia o nel Canada si raggiungono d'inverno temperature di 20, 30, 40 gradi sotto zero; che il fondo della Fossa delle Filippine è ad oltre 10 mila metri sotto il livello del mare; abbiamo studiato che Roma è stata fondata nell’anno 753 avanti Cristo. Basta allora farsi coraggio e dire: temperatura di - 40 gradi; altezza di -10.000 metri; anno -753: « meno 40 », « meno 10.000 », «meno 753 ». Una temperatura negativa sarà una temperatuta sotto lo zero del termometro; un'altezza negativa sarà il contrario di un'altezza, cioè una profondità (sotto l'altezza « zero », che è il livello del mare); un anno negativo sarà un anno prima di una data importante scelta quale anno zero, quale principio (l'anno della nascita di Cristo nel calendario più usato; quella della fuga di Maometto nel calendario musulmano; quello leggendario della creazione del mondo nel calendario ebraico; quello della presa della Bastiglia nel calendario della Rivoluzione francese, e così via).

Ancora più noti, purtroppo, sono quei numeri negativi che si chiamano... i debiti. Se io ho un credito di 10 mila lire, e un debito di 5 mila, il mio bilancio è « in attivo » di 5 mila lire, e cioè positivo; se le cose stanno al contrario, il mio bilancio è « in passivo » di 5 mila lire, è cioè negativo. Invece di dire: 5 mila lire di debito, io posso benissimo allora scrivere: - 5.000 lire.

Quando, in qualche equazione, come nell'esempio che poco fa abbiamo dato, i vecchi algebristi indiani e arabi, compreso al-Khuwarizmi, trovavano come soluzione un numero negativo, non si spaventavano, lo interpretavano come un « debito » (la loro aritmetica e la loro algebra avevano di mira soprattutto il commercio, cioè i problemi con l'incognita « denaro »). Tuttavia, non osavano considerare i debiti come numeri qualunque, fare cioè su di essi, con l'aggiunta di qualche opportuna regola, le operazioni ordinarie di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione. Il punto difficile fu proprio questo: ampliare l'idea di numero, aggiungendo ai numeri positivi quelli negativi. Tanto ripugnava una simile idea alle loro menti, che i matematici prima furono costretti a farlo praticamente, e solo parecchio tempo dopo capirono che non vi era ragione di non considerare numeri anche i debiti:

dapprincipio li considerarono come « numeri assurdi » (numeri absurdi, nel latino del tedesco Stifel, matematico vissuto attorno al 1520), che non si potevano capire, anche se con essi bisognava fare certi calcoli.

Come si fanno i calcoli con i « numeri absurdi », cioè con i numeri negativi

Questo nostro racconto vuole essere una storia soltanto di alcune idee della matematica. Non si vogliono perciò spiegare in modo sistematico le cose che si imparano a scuola dai maestri e dai professori, oppure da soli, quando si è più grandi, sui libri di vero e proprio studio.

Non saranno perciò spiegate in modo rigoroso le regole per i calcoli con i numeri negativi: si cercherà di dare soltanto una idea di questa conquista dell'ingegno umano, che non fu facile, così come tutte le conquiste non sono mai state facili. ….

Cosa vuoi dire moltiplicare un numero positivo per un numero negativo, per esempio 7 per (-2)? Facciamo il caso concreto dei debiti, e lo comprenderemo facilmente. Se ho due debiti di sette lire [in simboli: 2 (-7)] oppure sette debiti di due lire [in simboli: 7 (-2)] io ho in totale un debito di 14 lire; se ho poi anche 14 lire positive, cioè 14 lire in tasca, allora, pagato il debito, mi ritrovo pulito, alla pari, a zero. Perciò: 7 (-2) = 2 (-7) =-14, che è l'opposto di 14. L'idea da capire è l'idea, semplice e difficile insieme, che negativo e positivo sono tra loro opposti. Se si tratta di denaro, è chiaro (come sì è detto un momento fa), che un credito di 1.000 è l'opposto di un debito di 1.000 lire, perché il debito annulla il credito uguale e contrario: in simboli: + 1.00 + (-1.000) = 0. Se si tratta di altezze e profondità, cioè di salite e discese , è chiaro che una salita di 100 m. di dislivello annulla una discesa di. 100 m. di dislivello; se prima salgo di cento metri, poi scendo di cento metri, o viceversa, mi ritrovo al livello di partenza, al « via », allo « zero », e così se faccio due vasche di piscina a nuoto, 25 metri in avanti e 25 indietro, sono ancora alla linea zero, alla linea di partenza: 25 + (-25) = 0. « Ma io ho percorso cinquanta metri! » D'accordo: però venti-cinque in avanti (positivi), venticinque all'indietro (negativi), cosicché, alla fine, non mi trovo a cinquanta metri dalla partenza, ma a metri ... zero dal « via ».

Ora, date in ogni caso al segno -, premesso (cioè messo davanti a qualche cosa) il significato di « il contrario », o meglio « l'opposto » di quella cosa: ciò che, unito alla cosa data, la compensa, la annulla. Allora, debito = - credito (opposto di credito), ma anche credito = - debito, e allora anche: credito = - (- credito), cioè l'opposto dell'opposto di un credito è un credito: se io ho l'opposto di un debito di 1.000 lire vuoi dire che ho un credito di 1.000 lire, e perciò:

- (-1.000) = + 1.000.

L'opposto di salire è scendere, che è a sua volta l'opposto di salire: l'opposto dell'opposto di salire è ancora ... salire, perché è l'opposto di scendere (che è, appunto, l'opposto di salire). Se si è capito questo, è quasi inutile imparare a memoria le regole dei segni, perché si ricostruiscono ragionando. Abbiamo già visto che meno per più è uguale a meno; vediamolo ancora con l'idea ora esposta.

Innanzitutto, - 3 moltiplicato per 4 sarà l’opposto di 3 x 4 [(-3) x 4 = - (3 x 4)], e allora dovrà essere - 12, giacché 3 x 4 = 12, e -12 è l'opposto di 12. Vediamo la regola più difficile: meno per meno è uguale a più. (-3) x (-4) = -[3 x(-4)] vorrà dire l'opposto di 3 (-4); ma già sappiamo che 3 x (-4) è -12, e l’opp6sto di -12 è + 12 [perché, appunto, - (-12.) = opposto dell'opposto di 12 = 12].

Non avete capito? e allora serve poco imparare la regoletta: « meno per più e più per meno fanno meno, più per più e meno per meno fanno più » (e regola analoga per la divisione); o ve la scorderete, o la applicherete meccanicamente, senza rendervi conto di quello che fate, come apprendisti stregoni in possesso di una formula magica che sfugge alla loro mente. Morale: in nessun caso è importante sapere le regole a memoria? Proprio così; e in ogni caso ciò che conta è invece capire l'idea che è alla base della regola.

Andiamo avanti, comunque: ci seguano quelli che sono l'opposto dell'opposto di intelligenti. Quelli che sono un poco l’opposto dell’opposto dell’opposto di intelligenti sono invece consigliati di andare all'opposto dell'avanti per rifletterci all'opposto nell'appendice n. 13

Tratto da Lucio Lombardo Radice ‘La matematica da Pitagora a Newton’ Editori Riuniti pag. 59-62