Da Francesco Speranza- Alba Rossi dell’Acqua: Il linguaggio della matematica

Uno sguardo ai numeri naturali

Una delle prime attività matematiche consiste nel «contare» gli elementi di un dato insieme: è un'esperienza che tutti fanno da bambini ed è ovviamente impossibile, a tale livello di età, cogliere i concetti che vi sono impliciti. Secondo molti psicologi, un bambino pensa dapprima a un numero naturale, ad esempio «quattro», come a una proprietà di particolari collezioni (insiemi) di oggetti: l'insieme delle ruote di un'utilitaria, quello delle gambe di un dato tavolo, ...; gradualmente, dopo che egli ha appreso la parola «quattro» e infine il simbolo «4», il concetto «numero 4» finisce per assumere nella sua mente un significato astratto. Ma anche questo processo avviene quando si è ancora troppo giovani per esserne consapevoli, per apprezzarlo, per coglierne i concetti di base.

Quando sono dati due insiemi, possiamo chiederci se «hanno lo stesso numero di elementi», senza contarli? La risposta è si quando si può stabilire fra essi una biezione: più precisamente, si dice che un qualsiasi insieme che si può porre in corrispondenza biunivoca con quelli della figura ha 4 elementi.

Qui il numero 4 compare nel suo aspetto cardinale.

Quando, invece, contiamo gli elementi di un insieme che ha quattro oggetti, non facciamo altro che far corrispondere a uno di essi 1, a un altro 2, a un altro ancora 3 e, infine, all'ultimo rimasto 4: qui il numero 4 appare nel suo aspetto ordinale.

Anche solo da quanto ora detto si può capire la difficoltà di rispondere alla domanda «Che cos 'è un numero naturale?»; a questo proposito il filosofo Bertrand Russelì sottolinea che «devono essere state necessarie molte epoche storiche per scoprire che una coppia di fagiani e un paio di giorni erano entrambi espressioni del numero 2... Anche la scoperta che 1 è un numero dev'essere stata difficile. Quanto allo zero, è una recente conquista; Greci e Romani non avevano una simile cifra».

La definizione di numero naturale è un argomento abbastanza delicato, e perciò non intendiamo condizionare lo sviluppo del libro a una trattazione approfondita. Ci limitiamo a richiamare le principali proprietà dell'insieme N soffermandoci in particolare su alcune di esse. I numeri naturali hanno interessato gli uomini fin dalle epoche più antiche. È stato rinvenuto un osso che risale a circa 30000 anni fa, nel quale sono segnate tacche raggruppate a 5 a 5.

Sembra che gli esseri umani pensassero ai numeri come a schemi di punti.

Esemplari di disegni o pitture rinvenuti sulle pareti interne di caverne abitate da nostri lontani antenati intorno al 15000 a.C. e le nostre conoscenze sulle tribù primitive mostrano uno stretto legame fra il livello artistico raggiunto e il possesso di certe conoscenze aritmetiche. Abbiamo oggi elementi per individuare il grado di conoscenza relativo ai numeri naturali raggiunto in antichissime civiltà, ad esempio dagli Indiani e dai cinesi. Già intorno al 5000 a.C., nell'ultimo periodo dell'Età della Pietra, vi erano civiltà in cui, per rispondere soprattutto ad esigenze di carattere pratico, si usavano per scrivere i numeri naturali metodi che rivelano una conoscenza circa i numeri e le operazioni sugli stessi. Il papiro Rhind, documenta il livello raggiunto dagli Egiziani: nell'introduzione si parla di «un esame di tutto ciò che esiste, una conoscenza di tutti i segreti», anche se poi si tratta sostanzialmente di un testo di aritmetica in cui si affrontano problemi di eredità, di distribuzione di salari, di vettovagliamento per i combattenti, calcolo di aree, ecc.

I Babilonesi, che coltivarono con estremo interesse l'astrologia e l’astronomia, raggiunsero nell'aritmetica livelli paragonabili a quelli a cui l’Europa occidentale pervenne solo qualche secolo fa. Per scopi scientifici essi scrivevano i numeri con una notazione posizionale in base sessanta. Anche nel mondo greco i numeri naturali affascinarono i pensatori, tanto che spesso si attribuirono a essi significati che vanno oltre la Matematica. Pitagora, confrontando le lunghezze delle corde che producono certe note, trovò certi rapporti, arrivando così a vedere nell'Aritmetica l’essenza dell’armonia musicale; anzi, per i Pitagorici i numeri erano l'essenza di tutte le cose.

Con i matematici successivi lo studio dei numeri passò a una fase più scientifica: nell'opera di Euclide troviamo una sistemazione della Geometria e dell'Aritmetica con intenti di rigore.

È curioso osservare che 1, e ancor più 0, non furono considerati per lungo tempo, come numeri (in quanto non esprimono una «pluralità» di oggetti: fu necessario un certo ardimento mentale per unificare l’idea di «nessun oggetto», quella di «un solo oggetto» e quella di «alcuni oggetti»). Il ruolo particolare del numero 1 si ritrova ancora nelle lingue moderne, che in molte occasioni distinguono ancora il «singolare» dal «plurale». Si potrebbe in molti casi fare a meno di questa distinzione come è comprovato dalla lingua inglese, nella quale per gli articoli, gli aggettivi e spesso anche per i verbi non c'è distinzione fra singolare e plurale:

Italiano Il cane nero correva I cani neri correvano

Inglese The black dog ran The black dogs ran.

Gli Arabi, la cui civiltà raggiunse un alto livello fra l'800 e il 1200 avevano tradotto le opere dei pensatori greci e utilizzato i risultati raggiunti presso altri popoli, come gli Indiani. Attraverso gli Arabi nell'ultima fase del Medioevo, la civiltà occidentale conobbe le conquiste in campo scientifico di altre civiltà. Anche questa fu una tappa di quel rinascimento intellettuale che continua tuttora. Gli Arabi introdussero nell'Occidente la numerazione posizionale, inventata dagli Indiani, che permette di scrivere facilmente numeri comunque grandi. Pur essendo solamente un «cambiamento di linguaggio» (cioè del modo di scrivere i numeri), si trattò d'un progresso di grande importanza per i successivi sviluppi scientifici (con metodi più rudimentali, come la numerazione romana, non si potrebbero dominare i numeri molto grandi e molto piccoli di cui le scienze e la tecnica hanno bisogno).

L'importanza che nel corso della storia è stata data ai numeri naturali, quasi che questi fossero dotati di una particolare magia, è provata dalle teorie, più o meno in accordo con l'esperienza, che cercano di spiegare fenomeni naturali attraverso tali numeri. Come certo sapete, un suono è prodotto da vibrazioni meccaniche e la sua frequenza è il numero ditali vibrazioni in un secondo. Ebbene, i Pitagorici costruirono scale musicali la cui armonia era dovuta, secondo il loro parere, al fatto che nella scala le frequenze di un suono e del suo successivo stavano fra loro in rapporti esprimibili in numeri naturali (2 a 1, 3 a 2, 4 a 3,...). Da qui l'idea dei Pitagorici che la Terra e altri corpi celesti (i pianeti), ruotassero intorno a un fuoco centrale, generando suoni in armonia, perchè con frequenze corrispondenti a quelle di una scala musicale: per tale ragione i Pitagorici, a questo proposito, parlavano di «armonia delle sfere celesti».

Anche la teoria di Bode) è un tentativo di esprimere, in base alle conoscenze astronomiche del tempo, il sistema planetario solare in termini di numeri naturali. Bode considera la sequenza

0 3 6 12 24 48 96

e quella che si ottiene da questa addizionando 4 a ogni suo termine:

4 7 10 16 28 52 100.

I numeri che appaiono in quest'ultima, con la sola eccezione di 28, esprimono le distanze dal Sole rispettivamente di Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno (l'unità di lunghezza è quindi un quarto della distanza Sole-Mercurio). Più tardi furono scoperti corpi celesti, relativamente piccoli, forse prodotti dall'esplosione di un pianeta la cui distanza dal Sole avrebbe appunto potuto corrispondere a 28.

D'altra parte anche oggi le teorie sulla struttura della materia si allacciano strettamente ai numeri naturali (il numero degli elettroni in un atomo è un numero naturale, cioè, ad esempio, non vi possono essere in un atomo 3 elettroni e mezzo). La massa atomica che si attribuisce a un elemento chimico (questo concetto risale al secolo XIX) è solitamente un numero non intero. Più recentemente si è scoperto che ciò è conseguenza del fatto che quello che in Chimica si intende per elemento è di solito un miscuglio di isotopi di massa atomica intera, diversa l’una dall’altra, che però hanno le stesse proprietà chimiche: la struttura d’un atomo è determinata da numeri naturali.