Siamo partiti dall'insieme dei numeri
naturali N ed l'abbiamo via via ampliato
per poter risolvere problemi sempre più complessi
per aumentarne le
capacità operative ad esempio per rendere sempre
possibile prima la sottrazione poi la divisione.
A questo punto, potrebbe sembrare di non aver bisogno d'altro.
le quattro operazioni sono sempre possibili (tolta la divisione
per zero)
poiché l'insieme Q è denso si potrebbe ritenere di avere esaurito i punti della
retta
i computer, le calcolatrici tascabili, ecc. non hanno bisogno
d'altro. Anzi utilizzano solo un sottoinsieme di Q.....
E allora?
Già i Greci diversi secoli prima di Cristo al tempo di
Pitagora si accorsero che l'insieme Q non era sufficiente.
[Approfondisci] I numeri
razionali non erano adeguati a risolvere alcuni problemi semplicissimi
ad esempio:
misurare la diagonale di un quadrato utilizzando come unità di
misura un suo lato.
Il lato del quadrato e la sua
diagonale sono incommensurabili
misurare la lunghezza della circonferenza utilizzando come
unità di misura il raggio.
La circonferenza ed il raggio sono due
grandezze incommensurabili.
Sappiamo dalla scuola media che C=2pr.
Ma cos'è p?
L'insieme di questi
numeri, che chiameremo irrazionali,
e dei numeri razionali costituisce l'insieme dei numeri reali.
L'insieme R è di conseguenza un ampliamento dei
numeri razionali Q e ne condivide molte proprietà.
Come quest'ultimo R è:
Infinito
E' formato da un numero infinito di elementi.
L'affermazione, è evidente perché ampliamento dei numeri
razionali.
Ordinato
I numeri sono rappresentabili sulla retta.
Denso
Presi due numeri razionali qualunque ne esiste sempre
uno (e quindi infiniti) tra di essi compreso.
Continuo
L'insieme R esaurisce i punti della retta. In
particolare si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra
i numeri reali ed i punti della retta nel senso che ad ogni punto
delle retta corrisponde un numero reale e, viceversa, ad ogni numero
reale corrisponde un punto sulla retta.
