Definizioni
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bullet Definizione di operazione in un insieme
bullet  Operazione binaria interna  

Hai gia visto, nei tuoi precedenti studi, operazioni diverse di diverso tipo. Per esempio:
bulletLe quattro operazioni nei diversi insiemi numerici
bulletLe operazioni insiemistiche unione, intersezione, differenza ...
bulletL'elevamento a potenza in N

Ma cos'è un'operazione?
In genere si può osservare che una operazione  associa a due elementi a, b di un insieme, presi in un certo ordine, un terzo elemento c secondo lo schema sotto

Una operazione in un insieme è una legge che ad ogni coppia di elementi dell'insieme, detti operandi, ne associa un altro detto risultato. 

Se comunque si scelgono gli elementi il risultato appartiene ancora all'insieme diremo che l'operazione è un'operazione interna all'insieme o che l'insieme è chiuso rispetto l'operazione
Poiché  di solito la legge agisce su due elementi quando utilizziamo la sola parola "operazione",  intenderemo  indicare un' operazione binaria interna.
 

Esempi

  1. Abbiamo già visto altrove che l'insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione: Questo significa presa una qualunque coppia di numeri naturali (a,b) sia la loro somma che il loro prodotto sono ancora numeri naturali.
  2. La sottrazione non è invece operazioni interna ad N infatti esistono coppie di numeri per le quali la sottrazione non dà risultati in N ad esempio 7-12=-5 
  3. La divisione non è operazione interna né in N né Z lo è invece in Q-{0}

 

  Operazione binaria interna
Diamo ora una definizione rigorosa di operazione binaria in un insieme:

Si definisce operazione binaria in un insieme una qualunque legge che ad ogni coppia di valori (a,b) dell'insieme  associa un ed un solo elemento ancora dell'insieme.
Usando termini già noti possiamo definire un' operazione binaria interna su un insieme A una qualunque funzione od applicazione f definita sul prodotto cartesiano AxA a valori in A:
                            f:AxA®A