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La struttura:
(A, ^ )
Se A è un insieme
e ^
è un'
operazione su
A,
la coppia (A, ^ )
è una struttura algebrica. |
La struttura (A,
^ , * )
Se A é un insieme
e ^ , *
sono operazioni su
A,
la terna (A, ^ , *
) é una struttura algebrica. |
Elemento neutro
Sia (A, ^ )
la struttura vista.
Si dice che essa è dotata di elemento neutro (o unità)
se esiste un elemento uÎA
tale che"xÎA,
u^x=u^x=x
Tale elemento, se esiste, è detto
elemento unità o elemento neutro.
Si può inoltre dimostrare che se una struttura algebrica (A, ^ )
è dotata di elemento neutro questo è unico.
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Elemento inverso
Data una struttura algebrica
(A, ^ ) dotata di elemento neutro u, si dice che un elemento
xÎA
è invertibile
se esiste un elemento x'
ÎA
tale che
x^x'=x'^
x=u
x'
, se esiste,
è detto inverso o
reciproco di x.
Anche in questo caso si può dimostrare che se una struttura algebrica (A,
^)
è dotata di elemento inverso questo è unico.
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Struttura associativa
Si dice che una
(A, ^ )
è associativa , o che l'operazione
^ gode
della proprietà associativa , se vale:
"a,b,cÎA,
(a^b)^c=a^(b^c)
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Struttura commutativa
Si dice che una struttura algebrica
(A, ^ ) è commutativa , o che l'operazione
^ gode
della proprietà commutativa , se vale:
"a,bÎA,
a^b=b^a
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Struttura distributiva
Sia data una struttura algebrica
(A,
^ , * ).
Si dice che la seconda operazione
* gode della proprietà distributiva rispetto alla prima operazione
^
se "a,b,cÎA
valgono le due seguenti uguaglianze:
 | a*(b^c)=(a*b)^(a*c)
proprietà distributiva a sinistra |
| (a^b)*c=(a*c)^(b*c) proprietà distributiva a destra |
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