Potenze

Definizione

Dati un numero intero positivo n ed un qualunque numero a si definisce potenza n-esima di a e si indica con la scrittura aⁿ il prodotto di n fattori tutti uguali ad a.

se l'esponente è invece negativo e a¹0 allora:

Attenzione!!

L'esponente negativo non influisce sul segno della potenza. Il suo effetto è infatti solo quello di invertire la base passando al suo reciproco.

Nomenclatura essenziale

Convenzioni

Poiché la moltiplicazione esiste quando esistono almeno due fattori la definizione data ha significato per n>1.

Si pone allora per convenzione:

	se l'esponente è 1 si ottiene ancora la base
	se l'esponente è 0, qualunque sia la base a¹0, la potenza vale sempre 1
Non viene definita la scrittura la potenza di base 0 ed esponente 0, cioè la scrittura 0⁰ è priva di significato.

E il segno?

Valgono le regole dei segni. In particolare se l'esponente è un numero pari allora la potenza è sempre positiva indipendentemente dal segno della base. Infatti moltiplicando un numero pari di fattori negativi si ottiene un numero positivo. Se invece l'esponente è un numero dispari la potenza è positiva solo se lo è anche la base.
Fare quindi attenzione ai segni quando la base è negativa: in questo caso infatti la potenza conserva il segno della base, cioè rimane negativa, solo se l'esponente è dispari.

Esempi

	Per definizione di potenza
	Per definizione di potenza 0´0´0´...´0=0
	Per le convenzioni fatte
	Per definizione di potenza
	Per definizione di potenza e di prodotto tra frazioni. Da qui si deduce anche una nota proprietà delle potenze
	Attenzione ai segni quando l'esponente è dispari
	... ma anche quando l'esponente è pari
	Se l'esponente è negativo si passa al reciproco, poi si applicano le solite regole, facendo sempre attenzione ai segni.

	Per il momento questa scrittura è per noi priva di significato in quanto l'esponente non è un intero. Ve ne daremo uno più avanti.

Proprietà delle potenze

Particolarmente importanti nel calcolo numerico, ma soprattutto nel calcolo letterale che vedremo più avanti, sono le proprietà delle potenze che è indispensabile conoscere a memoria e saper applicare perfettamente.