;Simp(User)
"Esercitazione sulle propriet… focali della parabola"

;Simp(User)
"____________________Luigi Monica_____________________________"

InputMode:=Word

"Prendiamo una generica parabola avente come asse di simmetria l'asse delle a~
scisse"

"e scriviamo la sua equazione in funzione del fuoco F(a,0)"

PARABOLA(a):=1/(4*a)*y^2-x=0

"un generico punto della curva avr… coordinate (k^2/4a,k)"

;Simp(User)
y^2/4-x=0

;Sub(#6')
1/(4*a)*k^2-x=0

;Solve(#9,x)
[x=k^2/(4*a)]

"Un generico raggio incidente la parabola parallelo al suo asse avr… equazion~
e"

RAGGIO(a,k):=IF(x>k^2/(4*a),k)

"L'istruzione con la condizione IF ci permette di rappresentare la parte di r~
etta all'interno della parabola"

"Per renderti conto di quanto succede plotta la seguente espresione dopo aver~
la sviluppata"

[RAGGIO(1,1),PARABOLA(1)]

;Expd(#15)
[IF(x>1/4,1),y^2/4-x=0]

"Per vedere anche il raggio riflesso plotta invece"

[RAGGIO(1,1),PARABOLA(1),[[1/4,1],[1,0]]]

"Dimostreremo ora rigorosamente quanto osservato in questa figura"

"troviamo ora le tangenti alla parabola in un suo punto utilizzando la condiz~
ione di tangenza"

y=m*x-m*1/(4*a)*y0^2+y0

;Simp(Sub(#6'))
(16*a^2*m^2*x^2-8*a*x*(8*a^2-4*a*m*y0+m^2*y0^2)+16*a^2*y0^2-8*a*m*y0^3+m^2*y0~
^4)/(64*a^3)=0

;Solve(#22,x)
[x=y0^2/(4*a),x=(16*a^2-8*a*m*y0+m^2*y0^2)/(4*a*m^2)]

"la retta Š tangente se le soluzioni sono coincidenti"

y0^2/(4*a)=(16*a^2-8*a*m*y0+m^2*y0^2)/(4*a*m^2)

"Risolvendo rispetto ad m otteniamo l'unico valore"

;Solve(#25,m)
[m=2*a/y0]

;Sub(#21)
y=2*a/y0*x-2*a/y0*1/(4*a)*y0^2+y0

"equazione della tangente alla parabola in un suo punto"

;Expd(#28)
y=2*a*x/y0+y0/2

;Simp(User)
"poichŠ il punto sta sulla parabola si potevano utilizzare le formule di sdop~
piamento"

"ottendo ovviamente lo stesso risultato"

;Sub(User)
y0*y/(4*a)-(x+x0)/2=0

;Sub(#33)
y0*y/(4*a)-(x+1/(4*a)*y0^2)/2=0

;Solve(#34,y)
[y=(4*a*x+y0^2)/(2*y0)]

"___________________________________________________________"

TANGENTE(a,y0):=2*a*x/y0+y0/2

"otteniamo ancora la parabola come inviluppo delle sue tangenti"

VECTOR(TANGENTE(1,y0),y0,-5,5,0.3)

;Expd(#39)
[-2*x/5-5/2,-20*x/47-47/20,-5*x/11-11/5,-20*x/41-41/20,-10*x/19-19/10,-4*x/7-~
7/4,-5*x/8-8/5,-20*x/29-29/20,-10*x/13-13/10,-20*x/23-23/20,-x-1,-20*x/17-17/~
20,-10*x/7-7/10,-20*x/11-11/20,-5*x/2-2/5,-4*x-1/4,-10*x-1/10,20*x+1/20,5*x+1~
/5,20*x/7+7/20,2*x+1/2,20*x/13+13/20,5*x/4+4/5,20*x/19+19/20,10*x/11+11/10,4*~
x/5+5/4,5*x/7+7/5,20*x/31+31/20,10*x/17+17/10,20*x/37+37/20,x/2+2,20*x/43+43/~
20,10*x/23+23/10,20*x/49+49/20]

"per la legge di riflessione un raggio che colpisce una superficie riflettent~
e"

"viene riflesso con un angolo uguale all'angolo incidente rispetto alla norma~
le alla superficie"

y=-y0/(2*a)*(x-1/(4*a)*y0^2)+y0

;Expd(#43)
y=y0*(8*a^2+y0^2)/(8*a^2)-y0*x/(2*a)

NORMALE(a,y0):=y0*(8*a^2+y0^2)/(8*a^2)-y0*x/(2*a)

"Ed utilizzando la formula trigonometrica che d… l'angolo tra due rette"

ANG_R_N(a,y0):=ATAN(-y0/(2*a))

"l'angolo riflesso sar…, rispetto alla retta incidente, il doppio del precede~
nte"

"utlizzando la formula di duplicazione della tangente abbiamo subito m"

M_R(a,y0):=2*TAN(ANG_R_N(a,y0))/(1-TAN(ANG_R_N(a,y0))^2)

"e quindi l'equazione della retta del raggio riflesso"

"Costruiamo il vettore, con le dovute cautele per evitare la retta verticale,~
 e plottiamo"

"Si pu• osservare che tutte le rette passano per il fuoco"

R_R(a,y0):=M_R(a,y0)*(x-1/(4*a)*y0^2)+y0

VECTOR(R_R(1,y0),y0,0.1,10,0.2)

;Expd(#55)
[40/399-40*x/399,120/391-120*x/391,8/15-8*x/15,280/351-280*x/351,360/319-360*~
x/319,440/279-440*x/279,520/231-520*x/231,24/7-24*x/7,680/111-680*x/111,760/3~
9-760*x/39,840*x/41-840/41,920*x/129-920/129,40*x/9-40/9,1080*x/329-1080/329,~
1160*x/441-1160/441,1240*x/561-1240/561,1320*x/689-1320/689,56*x/33-56/33,148~
0*x/969-1480/969,1560*x/1121-1560/1121,1640*x/1281-1640/1281,1720*x/1449-1720~
/1449,72*x/65-72/65,1880*x/1809-1880/1809,1960*x/2001-1960/2001,2040*x/2201-2~
040/2201,2120*x/2409-2120/2409,88*x/105-88/105,2280*x/2849-2280/2849,2360*x/3~
081-2360/3081,2440*x/3321-2440/3321,2520*x/3569-2520/3569,104*x/153-104/153,2~
680*x/4089-2680/4089,2760*x/4361-2760/4361,2840*x/4641-2840/4641,2920*x/4929-~
2920/4929,120*x/209-120/209,3080*x/5529-3080/5529,3160*x/5841-3160/5841,3240*~
x/6161-3240/6161,3320*x/6489-3320/6489,136*x/273-136/273,3480*x/7169-3480/716~
9,3560*x/7521-3560/7521,3640*x/7881-3640/7881,3720*x/8249-3720/8249,152*x/345~
-152/345,3880*x/9009-3880/9009,3960*x/9401-3960/9401]

;Simp(User)
y^2/4-x=0

"Lo possiamo verificare anche analiticamente sostituendo ad x l'ascissa del f~
uoco"

"poi sviluppando, otterremo l'ordinata del fuoco cioŠ 0"

;Sub(#54')
M_R(a,y0)*(a-1/(4*a)*y0^2)+y0

;Expd(#60)
0

"Per LA rappresentazione grafica dei risultati procediamo tracciando il segme~
nto PF"

"per fare questo Š necessario utilizzare l'opzione CONNECT"

RIF(a):=VECTOR([[1/(4*a)*y0^2,y0],[a,0]],y0,0.1,3,0.1)

RAGGI_RIFLESSI(a,y0):=[[1/(4*a)*y0^2,y0],[a,0]]

GRAFICO(a):=[PARABOLA(a),VECTOR([RAGGIO(a,y0),RAGGI_RIFLESSI(a,y0)],y0,0.1,5,~
0.3)]

GRAFICO(1)

;Expd(#67)
[y^2/4-x=0,[[IF(x>1/400,1/10),[[1/400,1/10],[1,0]]],[IF(x>1/25,2/5),[[1/25,2/~
5],[1,0]]],[IF(x>49/400,7/10),[[49/400,7/10],[1,0]]],[IF(x>1/4,1),[[1/4,1],[1~
,0]]],[IF(x>169/400,13/10),[[169/400,13/10],[1,0]]],[IF(x>16/25,8/5),[[16/25,~
8/5],[1,0]]],[IF(x>361/400,19/10),[[361/400,19/10],[1,0]]],[IF(x>121/100,11/5~
),[[121/100,11/5],[1,0]]],[IF(x>25/16,5/2),[[25/16,5/2],[1,0]]],[IF(x>49/25,1~
4/5),[[49/25,14/5],[1,0]]],[IF(x>961/400,31/10),[[961/400,31/10],[1,0]]],[IF(~
x>289/100,17/5),[[289/100,17/5],[1,0]]],[IF(x>1369/400,37/10),[[1369/400,37/1~
0],[1,0]]],[IF(x>4,4),[[4,4],[1,0]]],[IF(x>1849/400,43/10),[[1849/400,43/10],~
[1,0]]],[IF(x>529/100,23/5),[[529/100,23/5],[1,0]]],[IF(x>2401/400,49/10),[[2~
401/400,49/10],[1,0]]]]]

GRAFICO(4)

;Expd(#69)
[y^2/16-x=0,[[IF(x>1/1600,1/10),[[1/1600,1/10],[4,0]]],[IF(x>1/100,2/5),[[1/1~
00,2/5],[4,0]]],[IF(x>49/1600,7/10),[[49/1600,7/10],[4,0]]],[IF(x>1/16,1),[[1~
/16,1],[4,0]]],[IF(x>169/1600,13/10),[[169/1600,13/10],[4,0]]],[IF(x>4/25,8/5~
),[[4/25,8/5],[4,0]]],[IF(x>361/1600,19/10),[[361/1600,19/10],[4,0]]],[IF(x>1~
21/400,11/5),[[121/400,11/5],[4,0]]],[IF(x>25/64,5/2),[[25/64,5/2],[4,0]]],[I~
F(x>49/100,14/5),[[49/100,14/5],[4,0]]],[IF(x>961/1600,31/10),[[961/1600,31/1~
0],[4,0]]],[IF(x>289/400,17/5),[[289/400,17/5],[4,0]]],[IF(x>1369/1600,37/10)~
,[[1369/1600,37/10],[4,0]]],[IF(x>1,4),[[1,4],[4,0]]],[IF(x>1849/1600,43/10),~
[[1849/1600,43/10],[4,0]]],[IF(x>529/400,23/5),[[529/400,23/5],[4,0]]],[IF(x>~
2401/1600,49/10),[[2401/1600,49/10],[4,0]]]]]

"Per visualizzare la situazione mediante un singolo raggio"

GR_RAGGIO(a,y0):=[RAGGIO(a,y0),PARABOLA(a),[[y0^2/(4*a),y0],[a,0]],TANGENTE(a~
,y0),NORMALE(a,y0)]

GR_RAGGIO(1,1)

;Simp(User)
[IF(x>1/4,1),y^2/4-x=0,[[1/4,1],[1,0]],2*x+1/2,9/8-x/2]