Costruzioni

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Costruzioni

	Costruzione della parabola in base alla definizione
	Un seconda costruzione classica
	Le proprietà focali della Parabola
	Costruzione della parabola di equazione y=x² che utilizza il teorema di Talete
	Una costruzione basata sul teorema di Euclide

Costruzione della parabola in base alla definizione

Tenendo presente la definizione di parabola come luogo geometrico, la sua costruzione con Cabri noti direttrice e fuoco si esegue nel seguente modo:

Si disegna la retta d (direttrice).

Si disegna il punto F non appartenente alla retta .

Si prende un qualunque punto H sulla direttrice (punto su un oggetto).

Si traccia la perpendicolare passante per H alla retta d.

Si costruisce l’asse del segmento FH

Si definisce il punto P intersezione tra le due rette appena disegnate
Il punto P appartiene all’asse di FH quindi per la definizione di asse di un segmento, è equidistante da H e da F

Al variare di H il punto P conserva sempre questa proprietà quindi descrive il luogo dei punti parabola
Con Cabri è possibile disegnare la parabola visualizzando il luogo generato dal punto P nel seguente modo:

si seleziona costruzione- luogo di punti

si seleziona il punto P come punto che traccia il luogo

si seleziona H come punto da muovere

al muoversi di H verrà tracciata la parabola

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Un seconda costruzione classica

Un'altra costruzione classica che si basa sempre sulla definizione della parabola come luogo geometrico è la seguente

si traccia la retta direttrice ed esternamente ad essa un qualunque punto F (fuoco)

da F si traccia la perpendicolare a alla direttrice, sia K il punto di intersezione

si individua il vertice come punto medio tra F ed K

si fissa un qualunque punto L sulla retta passante per il fuoco

si traccia la retta r parallela alla direttrice e passante per L

si disegna la circonferenza con centro in F e con raggio LK e si individuano i punti di intersezione tra questa circonferenza e la retta r siano P e P'. È evidente che, per come sono stati costruiti, i due punti P, P' sono equidistanti da F e dalla direttrice. Sono cioè punti della parabola cercata.

Al variare del punto L sulla retta a i punti P, P' descrivono la parabola.

Si può ora procedere alla costruzione del luogo.
Per selezionare i due punti che descrivono il luogo tenere premuto il tasto Shift (maiuscolo)
Per come è stata costruita si ritrova anche che la retta a è asse di simmetria della parabola.

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Nella figura a lato, che è stata ottenuta dalla precedente, la parabola è individuata dalle intersezione della retta LP al variare del punto L sull'asse con le circonferenze di centro il fuoco.
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Le proprietà focali della Parabola

Il fuoco della parabola ha interessanti proprietà relative alla riflessione dei raggi luminosi.
Si può infatti dimostrare che

Per ogni punto P della parabola l'angolo che la retta tangente forma con la retta congiungente il fuoco è congruente all'angolo che la stessa retta tangente forma con la perpendicolare alla direttrice.

Da questa proprietà, tenendo conto anche della legge della riflessione per la quale il raggio si riflette secondo il simmetrico rispetto alla retta tangente, si deduce la proprietà focale: ogni raggio luminoso passante per F si riflette in un raggio parallelo all'asse della parabola e, viceversa ogni raggio parallelo all'asse della parabola si riflette nel fuoco.

Quest'ultima proprietà giustifica tra l'altro i nomi fuoco e direttrice.

La figura a lato è stata ottenuta con cabri 2 come luogo del segmento FP e della semiretta con origine in P al variare di K.

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In questo modo si visualizza il fatto che se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari, cioè tutti i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Allo stesso modo una luce posta nel fuoco viene irradiata parallelamente all'asse del fuoco.
Tale proprietà era d'altronde nota fin dall'antichità e lo confermano la leggenda di Archimede e dei suoi specchi parabolici con i quali incendiò le navi dei romani, oppure i molti fari che nei porti erano formati da una superficie parabolica riflettente nel cui fuoco era posta una sorgente luminosa.

Oggi questa proprietà è utilizzata per esempio per le calotte dei fari delle automobili o per le antenne paraboliche.
Vedi indice applicazioni Derive
Vedi anche la pagina con Derive

Costruzione della parabola di equazione y=x² che utilizza il teorema di Talete

Applicando la proporzionalità del teorema di Talete è possibile ottenere un segmento la cui lunghezza è il quadrato di un segmento di lunghezza data. Allora preso un segmento di lunghezza variabile x, è possibile costruirne il quadrato cioè x².
Osserva la figura a lato:

Si tracciano due rette perpendicolari, sia O il loro punto di intersezione. Nell'uso di Cabri II conviene fare riferimento agli assi cartesiani

una delle due rette prendi punto A in modo che il segmento OA sia di lunghezza unitaria (ma la sua lunghezza non è importante)

Sull'altra retta prendi un altro punto a caso che chiamerai B (x in figura)

costruisci la circonferenza di centro O e raggio x e determina le sue intersezione con l’altro asse (intersezioni tra due oggetti)

traccia la retta passante per AB

traccia la parallela alla retta precedente passante per il punto di ordinata –x

Detto C l'intersezione di tale retta con l'asse delle x si ha che OC=x²

Disegna la circonferenza di centro O e raggio OC e, mediante due perpendicolari, individua il punto P(x,x²)

Il luogo di P al variare B di è una parabola.

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Una costruzione basata sul teorema di Euclide

Nella costruzione precedente è stato utilizzato il teorema di Talete, la costruzione è altrettanto semplice se si utilizza invece il secondo teorema di Euclide.
Si tracciano due rette perpendicolari e si indica con O il loro punto di intersezione. Nel caso si utilizzasse Cabri II conviene fare direttamente riferimento agli assi cartesiani. Preso un punto A su una delle due rette si costruisce un triangolo rettangolo ABC come in figura.

Se OA=1, e x è l'ascissa del punto B, il punto P(x, x²) disegna al variare di x una parabola.

Ovviamente la parabola viene disegnata anche se in tale caso la sua equazione sarà del tipo dove k rappresenta….

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