Equazione della parabola con vertice nell'origine e asse l'asse y
	Equazione della parabola traslata
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Dati una retta r ed un punto F,  scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale tale che l'asse della parabola coincida con l'asse delle ordinate, e  con origine il punto V punto medio tra F e r. La retta r (direttrice) è allora parallela all'asse delle ascisse.   Se poniamo F (0, k) le coordinate del fuoco, la direttrice avrà equazione y = -k. Per definizione della parabola come luogo geometrico, detto P un qualunque punto della parabola ed H il piede della perpendicolare condotta da P alla retta r si ha: PF=PH con allora il luogo è rappresentato dall'equazione  da cui svolgendo i calcoli

Þ

Relazioni da ricordare
Equazione parabola con vertice nell'origine	coordinate del Fuoco
(k : ordinata del fuoco)	equazione direttrice
La retta x=0 che contiene sia il vertice che il fuoco è asse di simmetria per la parabola: infatti valori opposti di x danno luogo allo stesso valore y.
...e se il fuoco sta sull'asse delle x ?   (Approfondisci)
Equazione parabola con vertice nell'origine	coordinate del Fuoco
(k : ascissa del fuoco)	equazione direttrice
La retta y=0 che contiene sia il vertice che il fuoco è asse di simmetria per la parabola.

Partendo da questi risultati si può ora individuare l'equazione di una parabola traslata rispetto all'origine, con vertice che supponiamo noto Si sottoponga la parabola alla traslazione di equazione in modo che al vertice della parabola corrisponda l'origine degli assi. Tale parabola ha equazione e sostituendo in essa le equazioni della traslazione si ottiene successivamente:
da cui  Avendo posto
che rappresenta l'equazione generale (o canonica) di una parabola con asse parallelo all'asse y. L'equazione di una parabola si presenta quindi come una funzione di secondo grado, del tipo Nota: il coefficiente del termine di secondo grado a non ha subito variazioni per cui è rappresentato ancora dalle formule date precedentemente, dove k rappresenta però la distanza Fuoco-Vertice. E' facile esprimere xv e yv  mediante i coefficienti della parabola infatti L'equazione dell'asse di simmetria della parabola diventa Quindi una parabola è esprimibile mediante una funzione completa di secondo grado.

Viceversa. Una qualsiasi funzione di secondo grado è una parabola ? Dimostriamo che con un'opportuna traslazione l'equazione precedente si riduce alla forma . Dall'equazione della parabola con successivi passaggi otteniamo : usiamo il metodo del completamento del quadrato per trasformare l'equazione nella forma aggiungiamo e togliamo il termine ponendo equazione della parabola traslata. La traslazione trasforma l'equazione generica data in y '=ax'2 che è una parabola con vertice nell'origine degli assi e simmetrica rispetto all'asse delle y. Anche la data è quindi l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y.