La parabola costituisce un modello per lo studio del
trinomio di secondo grado.
Nella figura a lato sono illustrate le possibili posizioni della
parabola in relazione al valore del suo discriminante.
Sull'asse delle ascisse sono indicati con il colore verde i valori della x
per i quali il trinomio (di conseguenza la y) assume segno positivo, con il rosso i valori
della x per i quali il trinomio (di conseguenza la y) assume segno negativo.
Nel grafico si è supposto a>0. Ovviamente se a<0,
succede esattamente l'opposto.
Tieni presente che se
se a>0 la parabola volge la concavità verso l'alto
se a<0 la parabola volge la concavità verso il basso
D>0 allora la parabola interseca
l'asse delle ascisse in due punti distinti. Il trinomio di secondo
grado assume il segno
del suo primo coefficiente a all'esterno dell'intervallo delle
soluzioni, segno opposto a quello del suo primo coefficiente a
all'interno dell'intervallo delle soluzioni.
D=0 allora la parabola interseca l'asse
delle ascisse in due punti coincidenti, la parabola è tangente
all'asse delle ascisse. Il trinomio
assume
sempre il segno del suo primo coefficiente a tranne nel punto
nel
quale si annulla
D<0 allora la parabola non interseca
l'asse delle ascisse. Il trinomio assume sempre il segno del suo primo
coefficiente a.
Esempi
Studiare il segno dei seguenti trinomi di secondo grado
Consideriamo la parabola di equazione il
cui grafico è illustrato a lato.
Per rispondere alla domanda posta osserviamo che il segno del
trinomio è positivo per i valori della
x per i quali il grafico è posto al di sopra dell'asse delle
x. (y>0). E'
invece negativo per quei valori della x per i quali il
grafico è posto al di sotto dell'asse delle x
(y<0)
Per rappresentare graficamente la parabola è necessario
determinarne almeno le coordinate del vertice
(Formule?)e
le intersezioni con gli assi risolvendo i due sistemi
Fai i calcoli necessari e controlla con i
valori che puoi dedurre dalla figura. Clicca invece sui due sistemi
per accedere alla pagina dei calcoli.
Concludendo: il trinomio ha segno positivo (segno di a)
all'esterno dell'intervallo delle soluzioni, segno negativo
all'interno dell'intervallo delle soluzioni, si annulla per x=1,
x=5.
Le soluzioni sono riassunte nel riquadro sotto.
Consideriamo ancora la parabola di equazionee
ne tracciamo il grafico.
In questo caso la parabola è evidentemente rivolta verso il basso
perché a<0.
Troviamo i valori di intersezione con gli assi
Procediamo come nel caso precedente: il trinomio ha segno negativo (segno di
a) all'esterno dell'intervallo delle soluzioni, segno
positivo all'interno dell'intervallo delle soluzioni, si annulla per
Anche in questo caso disegniamo la parabola associata al trinomio
ottenendo il grafico a lato.
Notiamo anzitutto che poiché
la parabola non interseca l'asse delle ascisse ed essendo rivolta
verso l'alto è di conseguenza posta tutta sopra l'asse delle
ascisse.
Quindi il trinomio assume segno positivo per ogni valore
dell'incognita x.
In simboli
Il questo caso il discriminante dell'equazione è nullo, di
conseguenza il vertice della parabola appartiene all'asse delle
ascisse.
Inoltre la parabola rivolge la concavità verso l'alto essendo a positivo.
Si
può concludere che il trinomio assume sempre il segno positivo ad eccezione
del valore x=2per il quale il trinomio si annulla.
nel
quale si annulla
il
cui grafico è illustrato a lato.
e
ne tracciamo il grafico.
