Disequazioni di secondo grado |
| Diventa ora immediato risolvere la disequazione di secondo
grado.
Possiamo semplicemente sintetizzare le conclusioni precedentemente
trovate nella seguente tabella nella quale con x1, x2
indichiamo le due radici
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a>0 |
a<0 |
| D>0 |
Valori
esterni all'intervallo delle radici
x<x1Ú x>x2 |
Valori
interni all'intervallo delle radici
x1< x<x2 |
| D=0 |
Tutti
i valori diversi da x1=x2
"xÎR–{x1} |
nessun
valore di x |
| D<0 |
Tutti i
valori di x
"xÎR |
nessun
valore di x |
Risultati opposti si ottengono per la disequazione
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a>0 |
a<0 |
| D>0 |
Valori
interni all'intervallo delle radici
x1< x<x2 |
Valori
esterni all'intervallo delle radici
x<x1Ú x>x2 |
| D=0 |
nessun
valore di x |
Tutti
i valori diversi da x1=x2
"xÎR–{x1} |
| D<0 |
nessun
valore di x |
"xÎR |
Esempi
Risolviamo le seguenti disequazioni di secondo grado
N.B.
Le regole illustrate sopra ci permettono di risolvere una qualunque
disequazione di secondo grado senza più l'esigenza di rappresentare
graficamente la situazione con la parabola. Negli esercizi che seguono si
è comunque preferito ancora una volta fare ricorso allo strumento grafico
per rendere più chiara la situazione.
| Esercizio 1
Risolviamo l'equazione associata:
si ha a>0, D>0,
verso della disequazione < di
conseguenza la disequazione è verificata all'interno dell'intervallo
delle radici.
Rappresentati i valori sulla retta reale, e tenendo presente
quanto detto, si ha:
quindi -1<x<5
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| Esercizio 2
Risolviamo l'equazione associata
si ha ancora a>0,
D>0 , verso
della disequazione > (il segno = indica
che sono compresi gli estremi dell'intervallo) , di
conseguenza la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo
delle radici.
Rappresentando i valori sulla retta si ha:
quindi x£
-1 o x³ 4
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| Esercizio 3
L'equazione ha due soluzioni
coincidenti x1=x2=1.
si ha a<0,
D=0
verso della disequazione >
(tieni presente quanto detto sopra per l'=) la disequazione non è
mai verifica tranne in 1 dove si
annulla.
Quindi x=1
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| Esercizio 4
L'equazione associata (pura) ha due soluzioni tra di loro opposte
-1; +1.
Si ha inoltre a>0,
D>0, il
verso della disequazione > , di
conseguenza la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo
delle radici.
x<
-1 o x>1
Attenzione a facili
errori:
non ha senso scrivere x>±1
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| Esercizio 5
Osserva che in questo caso il discriminante è nullo (b, c sono
nulli) quindi l'equazione ha due soluzioni coincidenti, ovviamente
entrambe nulle x1=x2=0. La
disequazione è verificata per ogni valore della x ad
eccezione di 0, valore per il quale l'espressione si annulla.
Quindi x¹0.
Osserva la figura a lato se hai dei dubbi.
Anche in questo caso attenzione a facili
errori:
non è corretto scrivere x>0 |
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Flash
sul segno del trinomio di secondo grado
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