Date nel piano cartesiano una parabola ed una retta non parallela al
suo asse si presentano le seguenti possibilità:
La retta e la parabola non hanno punti in comune, si dice in
questo caso che la retta è esterna alla parabola
La retta e la parabola hanno solo un punto in comune, si dice
in questo caso che la retta e la parabola sono tangenti
La retta e la parabola hanno due punti in comune, si dice in
questo caso che sono secanti
Se la retta è invece
parallela all'asse della parabola vi è sempre uno ed un solo punto
di intersezione tra la due curve
Dal punto di
vista analitico determinare le intersezioni tra retta e parabola
significa determinare le coordinate di quei punti che appartengono
contemporaneamente alle due curve. Le coordinate di tali punti
devono allora verificare entrambe le equazioni: esserne cioè una
soluzione. In generale trovare le intersezioni tra due curve di data
equazione significa allora trovare le soluzioni del sistema formato
dalle loro equazioni.
Analizziamo il sistema tra l'equazione retta e della parabola:
Risolvendo questa equazione trovo i valori della x.
Si possono verificare tre casi
D>0 allora esistono due
soluzioni reali distinte, la retta interseca la parabola in due
punti distinti, è una secante
D=0 allora
esistono due soluzioni reali coincidenti, la retta interseca la
parabola in un solo punto (due punti coincidenti). La retta è
tangente.
D<0 allora
non esistono soluzioni reali. La retta non interseca la
parabola. E' esterna.
Esempio
Determinare graficamente le intersezioni tra la retta di equazione y=x-2
e la parabola di equazione y=x²-2x-2
Disegniamo nel piano
cartesiano la retta e la parabola
(vedi figura a lato). La retta interseca la parabola in due punti
distinti di coordinate (0;-2), (3;1).
Verifichiamo risolvendo algebricamente il sistema:
