Funzioni lineari

Consideriamo una equazione del tipo ax+by=c, con a,b,c tre numeri reali. Tale equazione è detta equazione di primo grado in due incognite.

Per trovarne una soluzione è necessario determinare una coppia ordinata di numeri (un numero per la variabile x  ed uno per la variabile y), tali che sostituiti nell'equazione trasformino l'equazione in una proposizione vera, ossia la verifichino.

Esempio 

Consideriamo l'equazione x+2y=5.

se poniamo nell'equazione data x=3, y=1 si ottiene 3+2*(1)=5. 
Diciamo allora che la coppia ordinata (3; 1) è soluzione dell'equazione x+2y=5 perché la coppia di numeri rende vera l'eguaglianza.

se invece poniamo x=1, y=3 si ottiene 1+2*(3)=7.
Diciamo in questo caso che la coppia ordinata (1; 3) non è una soluzione dell'equazione x+2y=5 perché la coppia di numeri non rende vera l'uguaglianza.

La soluzione di un'equazione di questo tipo, cioè di un'equazione in due incognite, è allora una qualunque coppia ordinata di numeri reali che verifichi l'equazione data.

 Osservazione.
Le coppie ordinate ti dovrebbero ricordare il prodotto cartesiano. 
Si può allora affermare che l'equazione è definita nell'insieme RxR prodotto cartesiano dei numeri reali e che le soluzione saranno di conseguenza un sottoinsieme di RxR.

E' facile verificare, fallo sul tuo quaderno, che anche le coppie ordinate (3; 1), (5; 0), (-1; 3) sono soluzione dell'equazione data.

Ma quante sono queste soluzioni? 
Per rispondere alla domanda possiamo anzitutto esplicitare l'equazione  rispetto all'incognita y ottenendo

(non sai perché? clicca sull'equazione sopra se vuoi spiegazioni)
L'equazione data può essere vista come una funzione del tipo y=f(x) che ad ogni valore numerico attribuito alla x associa un un valore numerico per la y.

Chiameremo grafico di una funzione del tipo y=f(x) la rappresentazione sul piano cartesiano delle soluzioni dell'equazione.  Poiché, come vedremo più avanti, il grafico di una funzione del tipo y=mx+q è una retta le funzioni di questo tipo sono dette funzioni lineari.