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Equazione della retta
Ci proponiamo di far vedere che presa una qualunque
retta nel piano cartesiano a questa corrisponde una equazione di primo grado.
Distinguiamo diversi casi:
Retta coincidente con l'asse x
| Osserva la figura a lato.
Puoi notare che tutti i punti dell'asse delle
ascisse hanno la caratteristica di avere il valore della y
nullo.
L'asse
delle x è il luogo dei punti del piano
aventi ordinata nulla.
Tradotto in una condizione algebrica questa
proprietà si esprime mediante l'equazione:
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La retta r coincide con l'asse y
| Osserva la figura a lato.
Puoi notare che tutti i punti dell'asse delle
ordinate hanno la caratteristica di avere il valore della x
nullo.
L'asse
delle y è il luogo dei punti del piano
aventi ascissa nulla.
Tradotto in una condizione algebrica questa
proprietà si esprime mediante l'equazione:
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La retta r è parallele all'asse
y
| Osserva la figura sotto:
Una
retta parallela all'asse delle y è il luogo
dei punti del piano aventi ascissa costante.
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Tradotto in una condizione algebrica, e detta h
una qualunque costante, questa
proprietà si esprime mediante l'equazione:
In particolare se la retta è situata nel semipiano delle ordinate
positive, sarà h>0, se invece si trova in quello delle ordinate
negative sarà h<0.
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| Visualizza
la costruzione con cabrijava |
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Cliccando sul simbolo a lato (tazzina da
caffè) accedi
alle istruzioni per l'uso dell'applet java |
La retta r è parallele all'asse x
| Osserva la figura sotto:
Una
retta parallela all'asse delle x è il
luogo dei punti del piano aventi ordinata costante.
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Tradotto in una condizione algebrica questa
proprietà si esprime mediante l'equazione:
In particolare se la retta è situata nel semipiano delle
ascisse
positive, sarà k>0, se invece si trova in quello delle ascisse
negative sarà k<0.
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Visualizza
la costruzione con cabrijava |
istruzioni
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La retta r passa per l'origine
degli assi.
Su una retta passante per
l'origine si prendono in modo arbitrario i punti A(x1,y1),
B(x2,y2), C(x3,y3),
...
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I triangoli OAA', OBB', OCC', ... sono simili
(perchè?)
e quindi sussiste la seguente relazione:
 dove
con m si indica il rapporto costante di
proporzionalità.
Poiché questa relazione vale per qualunque punto si può dire che
la retta è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il
rapporto tra ordinata ed ascissa. |
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La
legge si esprime scrivendo: o
anche:
La
costante m viene detta coefficiente angolare
ed esprime l'inclinazione o la pendenza della retta |
E' facile notare che:
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Se la retta sta nel I e III quadrante, il suo coefficiente angolare è
positivo. |
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Se la retta sta nel II e IV quadrante, il suo coefficiente angolare è
negativo. |
Retta r non passante per l'origine e non parallela
ad uno degli assi.
Indicato con O'(0,
q) il punto in cui r incontra l'asse y, eseguiamo una
traslazione di assi
che porti l'origine nel nuovo sistema di riferimento x'O'y'. Si ottiene:
 che è l'equazione di r rispetto al sistema di riferimento iniziale xOy.
La costante m viene ancora chiamata coefficiente angolare e q
viene detta intercetta o ordinata all'origine, e rappresenta l'ordinata
del punto di intersezione della retta r con l'asse y.
Cliccando
sul link a sottostante puoi accedere ad una figura di Cabri
interattiva realizzata in CabriJava.
Dopo averli selezionati mediante il mouse
| Puoi muovere il punto m per
variare l'inclinazione della retta. Osserva attentamente il
significato del coefficiente
angolare m, in
particolare osservane il segno. |
| Puoi muovere il punto q per
variare la posizione della retta parallelamente ed osservare
il significato dell'intercetta
q |
Fai numerosi tentavi per
renderti ben conto del significato dei due parametri m,
q
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la costruzione con cabrijava |
istruzioni
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Abbiamo in pratica mostrato che presa una qualunque retta nel piano
cartesiano, la sua equazione è sempre una equazione di primo grado.
Flash
sul significato di m
Flash sul grafico della retta
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