Abbiamo dimostrato che presa una qualunque retta  del piano cartesiano ad essa corrisponde sempre un'equazione di primo grado.

Viceversa, data un'equazione di primo grado nella forma implicita

la sua rappresentazione grafica è una retta.

Distinguiamo i seguenti casi

1) a ¹ 0,    b = 0,    

l'equazione vista diventa:  ax+c=0 dalla quale si ricava x=-^c/_a 
che rappresenta l'equazione di una retta parallela all'asse delle y. 
Nel caso particolare che sia anche c=0 si ottiene x=0 che rappresenta l'asse delle y

2) a = 0,    b ¹ 0

l'equazione vista diventa:  by+c=0 dalla quale si ricava y=-^c/_b che rappresenta l'equazione di una retta parallela all'asse delle x.
Nel caso particolare che sia anche c=0 si ottiene y=0 che rappresenta l'asse delle x

3) a ¹ 0,    b ¹ 0,    c = 0

l'equazione vista diventa:        ax + by = 0        ossia     y = -^a/_b x e, posto  -^a/_b = m si ottiene  y = mx  

L'equazione è verificata dalla coppia ordinata (0,0) di conseguenza la retta passa per l'origine degli assi.

f) a ¹ 0,    b ¹ 0,    c ¹ 0

Risolvendo l'equazione data rispetto alla y otteniamo  y = - ^a/_b x - ^c/_b. Posto  - a/b = m  e  - c/b = q  otteniamo:  y = mx + q.

Concludendo:
Un'equazione di primo grado nelle variabili x ed y, nella forma implicita ax + by + c = 0 ha per rappresentazione grafica una retta r.  
 La situazione vista è riassunta dalla seguente tabella: 

a = 0	b ¹ 0	c = 0	la retta r coincide con l'asse x
a ¹ 0	b = 0	c = 0	la retta r  coincide con l'asse y
a = 0	b ¹ 0	c ¹ 0	la retta r  è parallela all'asse x
a ¹ 0	b = 0	c ¹ 0	la retta r  è parallela all'asse y
a ¹ 0	b ¹ 0	c = 0	la retta r  passa per l'origine
a ¹ 0	b ¹ 0	c ¹ 0	la retta r  incontra ciascuno degli assi in punti distinti dall'origine

 
 Esempi: 
Traccia il grafico delle rette di equazione

2x-3=0	Per tracciare il grafico della retta basta tener presente che è parallela all'asse delle ordinate.	Voglio vedere il grafico
3y+5=0	Per tracciare il grafico della retta basta tener presente che è parallela all'asse delle ascisse.	Voglio vedere il grafico
2x+y=0	Per tracciare il grafico della retta occorre trovarne due suoi punti dando dei valori alla x	Voglio vedere il grafico
3x+2y-4=0	Anche in questo caso per tracciare il grafico della retta occorre trovarne due suoi punti dando dei valori alla x	Voglio vedere il grafico
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