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Retta per due punti
Siano
dati due punti distinti P (xP, yP )e
Q
(xQ, yQ ). Essi individuano nel
piano una e una sola retta. Per determinarne l’equazione possiamo
procedere in diversi modi:
| Primo modo
- Determiniamo il coefficiente angolare della retta r:
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Esempio
Determinare l'equazione della retta passante per P(-2,1), Q(1, 3).
Si ottiene
quindi
l'equazione della retta è y=2/3x+7/3
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| - Determinando mPQ nell’equazione generale
y=mx+q abbiamo individuato un
fascio di rette
parallele. Fra tutte queste trovo la retta cercata
imponendo il passaggio per uno qualsiasi dei due punti dati. |
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| Secondo modo
La
retta appartiene al fascio di centro P quindi
ed
imponendo il passaggio per Q otteniamo
Infine nella condizione yQ ¹ yP
e xQ ¹ xP
dividendo membro a membro si ottiene:
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Esempio
Ripetiamo l'esercizio con gli stessi dati del precedente.
P(-2,1), Q(1,3).
Con semplici calcoli (attenzione ai segni!!) si ottiene
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| Terzo
modo
Imponiamo il passaggio per il punto P
poi per il punto Q. Otteniamo
il sistema:
N.B. In questi sistema le incognite sono m, q
mentre xP, yP xQ, yQ
sono noti.
Il procedimento è degno di nota in quanto verrà
sistematicamente utilizzato per le coniche. |
Esempio
Ripetiamo l'esercizio con gli stessi dati del precedente.
P(-2,1), Q(1, 3)
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Occorre risolvere un sistema lineare in m,
q.
Utilizziamo il metodo di riduzione. Sottraendo la
seconda equazione dalla prima otteniamo m. Sostituendo in una delle due equazioni di partenza
troviamo subito q. |
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Attenzione!!
Le condizioni yQ ¹ yP
e xQ ¹ xP
stanno a significare che i due punti non devono essere allineati
ad uno degli assi. In questi casi però la soluzione del problema
è immediata. Infatti se yQ = yP
la retta è parallela all'asse x allora
la sua equazione diventa y=yP. Allo stesso modo se xQ
= xP la
retta è parallela all'asse delle y quindi
la sua equazione diventa x = xP.
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