Retta passante per un punto e parallela ad una retta data
Siano dati la retta di equazione y=mx+q ed il punto P(x1,y1).
Per
la condizione di parallelismo la retta
cercata dovrà avere lo stesso coefficiente angolare. Quindi potremo
utilizzare la formula del
fascio di rette proprio
dove x1,y1 sono le coordinate
del punto dato, m il coefficiente angolare della retta data.
Se l'equazione della retta è in forma implicita ax+by+c=0
si può anche utilizzare la formula
dove a, b, sono i coefficienti dell'equazione della
retta data.
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Esempio
Determinare la retta r passante
per P(4,-1) e parallela alla retta s:
5x-3y+10=0.
1.
Esprimiamo anzitutto l’equazione della retta s in forma
esplicita, per poter individuarne il coefficiente angolare.
Applicando
la formula precedente otteniamo
e svolgendo i calcoli:
2. Più semplicemente si poteva utilizzare la seconda formula ottenendo:
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Retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta
data.
Siano dati la retta di equazione y=mx+q ed il
punto P(x1,y1). Per
la condizione di perpendicolarità
potremo
scrivere
dove x1,y1 sono le coordinate
del punto dato, m il coefficiente angolare della retta data.
Se l'equazione della retta è in forma implicita ax+by+c=0
si può anche utilizzare la formula
dove a, b, sono i coefficienti dell'equazione della
retta data.
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Esempio
Determinare l'equazione della retta r
passante per P(2,6) e perpendicolare alla retta s:4x-y+9=0.
1. Scrivendo la retta in forma esplicita si nota
che il suo coefficiente angolare è 4. Quindi
2. Anche in questo caso si poteva scrivere
direttamente
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Asse di un segmento
Ricordiamo che l'asse di un
segmento A, B è la perpendicolare al segmento nel suo punto medio M.
Scrivere
l’equazione della retta r passante per M e di coefficiente
antireciproco a quello della retta passante per A e B. Per
la risoluzione utilizziamo quindi questo procedimento:
-
Determiniamo il coefficiente angolare della retta passante per A(x1,y1),
B (x2,y2)
-
Scriviamo
l’equazione del fascio improprio di rette perpendicolari ad AB
-
Imponiamo
il passaggio della retta per il punto M
sostituendo
all’equazione del fascio le coordinate del punto, così da
determinare l’ordinata all’origine e quindi la retta da noi
cercata
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Esempio
Determinare
l’equazione dell’asse del segmento di estremi A(5,2)
e B(-2,1)
.
-
Ricaviamo
le coordinate del punto medio M
del segmento
ottenendo
-
Determiniamo
il valore del coefficiente angolare della retta passante per
A
e B
-
Scriviamo la generica retta del fascio improprio perpendicolare ad AB:
-
Determiniamo il valore di q imponendo il passaggio della retta per
il punto M
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Ma si può anche definire l'asse di un segmento come il
luogo dei punti che sono equidistanti dagli estremi del segmento.
Possiamo cioè dire che un punto P appartiene
all'asse di un segmento AB se e solo se PA=PB.
Allora
Esempio
Useremo ora questo secondo procedimento con i
valori numerici dell'esempio precedente.
Andiamo a sostituire le coordinate dei punti nella formula
appena trovata ed eseguiamo i calcoli
Che trasformato in forma esplicita coincide con il precedente. |
Distanza punto retta
Sfruttando la condizione di perpendicolarità tra rette ci
permette di risolvere il problema di calcolare la distanza di un punto P(x0,y0)
da una retta di data equazione ax+by+c=0.
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Si può infatti
procedere nel seguente modo:
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si trova
l'equazione della retta s passante per P e
perpendicolare alla retta data |
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si calcolano
le coordinate del punto H intersezione della retta s
con la retta data |
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Si calcola
la distanza tra i due punti P, H. |
Eseguendo i
calcoli otteniamo la formula
La formula viene ricavata con Derive nel file allegato retta.mth
(righe #18-#30) |
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Esempio
Determinare
la distanza di P(4,-3)
dalla retta r:y=2x+5.
Esprimo
la retta in forma implicita: r:
2x-y+5=0.
Sostituendo
le coordinate di P all’espressione della retta otteniamo:
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Bisettrice di un angolo
formato da due rette
Il problema non rientra normalmente nel programma per la
seconda classe. Viene comunque inserito per completezza.
Ricordiamo che la bisettrice è il luogo dei punti del
piano equidistanti dai lati dell'angolo.
La formula della distanza punto-retta ricavata nel punto precedente ci permette di calcolare l'equazione della
bisettrice di un angolo:
Infatti se P(x,y) è un
generico punto del piano perché appartenga alla bisettrice dovrà
essere:
Che al di fuori del valore assoluto rappresenta
le bisettrici dei due angoli adiacenti, formati da due rette incidenti,
che saranno tra di loro perpendicolari.
